第四章 中值定理与导数的应用

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1、第四章中值定理与导数的应用学习目的和要求学习本章，要求读者能掌握中值定理的条件及其结论，了解其证明思路和过程，并能应用中值定理于罗必达法则、函数的增减性、函数的极值等导数的应用中去；同时要求读者学会运用罗必达法则讨论各种待定型的极限；学会利用导数分析函数的增减性、极值点、拐点及其曲线的凸向；并能应用于分析一些经济学中的常用问题．第一节中值定理1．中值定理由简单到复杂有3种情形，表述如下：(1)罗尔定理若函数在闭区间上连续，且在开区间()内有导数，并在区间两端点取等值，则在区间内至少有一点ξ，使在该点函数的导数为零．(2)拉

2、格朗日中值定理若函数在闭区间[]上连续，且在开区间()内有导数，则在区间()内至少有一点ξ，使成立等式：(3)柯西中值定理设在闭区间[]上连续，在开区间()内有导数内均不为零，则在区间()内至少有一点ξ,使成立等式：2．如果我们已证得罗尔定理，则为证明拉格朗日中值定理仅需引入辅助函数：并利用罗尔定理即可证得．而为证明柯西中值定理仅需引入辅助函数：26并利用罗尔定理即可证得．为证明罗尔定理，首先要运用闭区间上连续函数的最大(小)值定理，然后利用定理条件，证明在区间内至少有一点达到最大值或最小值．最后再证明在区间内达最大值或最

3、小值的点即为我们要求的点ξ，在该点其一阶导数为零．3．中值定理的初步应用(1)对于在()内有定义的函数，则必有证在区间（）中任取两点   故得   由的任意性得(2)证明不等式：证由中值定理，   故得第二节导数的应用1．罗必达法则(1)在讨论函数极值中经常遇到这种情况：已知26①或②欲求极限此时，已不能利用前面所述的极限运算法则来计算．而且，根据具体给定的函数，上述极限有可能存在，也可能不存在。因而，常称这类极限式为待定型，并利用所得极限的性态简记为型．类似地，待定型还可有等各种类型．罗必达法则为计算这类待定型提供了一种

4、方法．(2)罗必达法则设①当时，都趋于零，②在点的某一邻域内(点本身除外)，存在且 ③存在(或无穷大)，则   对情形亦有类似表达和结论(3)举例如下:26①②(4)对其他待定型，则设法将他们化为前面两种基本的待定型来处理．例如：求型，通过变换   化为，就可利用罗必达法则求极限.又如：求型.通过变换可将待定型化为型，从而可用罗必达法则求极限.对型，可通过取对数后再化为型来处理.例如：设26取对数若下列型极限存在：就可先求得2：函数的增减性利用导数可以判断函数的增减性，亦即曲线的升降性，有如下结果：(1)设函数在区间()内

5、具有导数．如果在()上为单调增加(或减少)，则在该区间上这函数的导数．(2)设函数在区间()内具有导数．如果在这区间上导数是正的：上为严格单调增加；导数是负的：在上为严格单调减少．若将条件减弱为在内，则结论减弱为上为单调增加(或单调减少)．3．函数的极值(1)极值的定义对于点，若有一个邻域存在，使函数在该邻域内有定义且在该邻域内①有的一个极大值；②有的一个极小值．(2)极值存在的必要条件设函数有导数，且在取到极值(极大或极小)，则这函数在处的导数26(3)极值存在的一阶充分条件设函数的一个邻域内连续，且在此邻域内(可除外)

6、可导．若当取到极大值；若当取到极小值．(4)极值存在的二阶充分条件设函数处具有二阶导数，且取极大，反之当时取极小．(5)注当时，此时不能确定是否取极值．极大、极小和无极值三种情况都有可能．4．函数曲线的凸向设函数内有二阶导数．若则曲线为下凸的；若，则曲线为上凸的．5．拐点曲线上凸与下凸的分界点称为曲线的拐点．6．函数图形的描绘利用函数的导数，求出函数的极值点、拐点以及单调区间、凸凹区间，并找出曲线的渐近线，从而描绘出函数曲线的图形．7．函数极值在经济管理中的应用包括最大利润问题、最小成本问题、需求分析等多方面应用．以利润问

7、题为例，设需求函数为   P=a-bx(x为供需量，p为价格)，则总收益为而总成本函数若为，则总利润函数26欲求总利润最大，按极值的二阶充分条件   可解得为保证能取到极大值，要求   若我们不涉及函数的具体形式，一般地讨论利润问题，则由可得利润最大的必要条件为亦即必须使边际收益等于边际成本．第四章中值定理与导数应用例1：下列各函数中，在区间[-1，1]上满足罗尔定理所有条件的是()例2：26例3：例4：例5：26例6：下列极限中能用罗必达法则的有()2626例7：例8：列表即(-∞,-2)及(0,+∞)为递增区间，（-2

8、，-1）及（-1，0）为递减区间；当x=-2时取极大值f(-2)=-4，当x=0时取极小值f(0)=0例9：讨论曲线y=x4-2x3+1的凹向与拐点解：yˊ=4x3-6x2y″=12x2-12x=12x(x-1)当x=0,x=1时y″=0x=0与x=1把定义域（-∞，+∞）分成三个区间，列表26即(-∞