如何在中学数学例题教学中培养学生的反思

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1、如何在中学数学例题教学中，培养学生的反思广东惠州市惠东中学李仕良一、问题的提出荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出；反思是数学思维活动的核心和动力，在数学例题教学活动中引导学生反思，能促使他们从新的角度、多层次、多侧面地对问题的条件、结论、方法等进行全面的考察、分析、与思考，弄清各知识要素在问题中的地位和作用，探究性加以重新整合构造，并进行开放性研究，从而深化对问题的理解，揭示问题本质，探索一般规律，在产生可能的新的结论和方法的同时可以为学生形成积极主动的，多样的学习方式创造有利的条件，从而激发学生数学兴趣，养成独立思考、积极探索的

2、习惯，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。二、问题解决的尝试甲乙甲乙甲丙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲例题1三个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式有多少种？一般同学解这个问题多用列举法，即把可能出现的传球方式一一列举出来。解若第一次传给乙，传球方式可能出现的情况如右图，经过5次传球后，6球仍回到甲手中，不同的传球方式有5种；若第一次传给丙，则又有5种；故共有10种不同的传球方式。此时，学生甲说，若把三个人改为五个人或十个人时，怎样解呢？其

3、他学生也跟着想。若还是用一一列举的方法，岂不是一件很麻烦的事情。学生乙又说，假使传十次、二十次、或n次呢？有没有规律，这个规律是否能用一个数学式子来表达。下面引导学生用递推法解决这个问题。设第次将球传给甲的方式有种，传次球共有种不同的传法，这种传法中，有种传法的第次不是传给了甲，而第次没有传给甲时，在第次传球时可传给甲，故第次传给甲的传法。令，则代入上式，并整理得。变形得，是公比为的等比数列，显然，。所以得。当时，。让学生进行反思将此问题推广到一般情况：个人互相传球，（），甲先发球，并作为第一次传球，经过次（）传球后，球仍回到甲

4、手中，则不同的传球方法有多少种？设第次传给甲的方式有种，由前面分析可知。6令，得，变形得。是公比为的等比数列。，显然，所以。得。于是。即。当时，整个教学过程，是教师的激发与学生的探究下完成的，典型的问题的提出，可以提高学生分析问题和解决问题的能力。例题2、设a、b是两个互不相等的实数求证

5、-

6、＜

7、a-b

8、①问题给出以后，一种很自然的证法就油然而生，因为我们在研究任何实际问题总是要进行分析的。证法1、（分析法）要证的不等式①等价与（-）2＜（a-b）2即要证1+ab＜②成立即可。一方面，当1+ab≤0时，不等式②显然成立。另一

9、方面，1+ab＞0，则所要证不等式②成立，就要证（-）2＜（a-b）2成立,亦证：2ab＜a2+b2成立，而这恰为其本不等式综上所述，不等式②成立，从而证得原不等式①6成立。接着就有了逆上而行的综合法。（证法2）当我们与学生共同探讨解决这个问题后，千万不要认为大功告成了。而不作一些反思。这时教师要引导学生思考：大家知道要比较两个实数的大小可以作差或作商，这就得到了两种证法（证法3、4）此题你认为是否还有其他解法呢？问题提出后，果然学生甲从结构形式上得到了启示;由及很自然的视其为两个有一边长为1的直角三角形的斜边，这样便产生了

10、构造直角三角形的平面几何证法。（1）当

11、a

12、＞

13、b

14、≥0，以1

15、a

16、为两直角边作Rt△ACB,再以1

17、b

18、为两直角边作Rt△DCB（显然

19、b

20、=0,使两个直角重合）如图BCDA则BD=BA=又AD=AC-DC=

21、a

22、-

23、b

24、在Rt△ABD中，AB-BD＜AD而

25、a-b

26、≥

27、a

28、-

29、b

30、所以

31、-

32、＜

33、a-b

34、（2）同理可证当

35、b

36、＞

37、a

38、≥0，上式成立。（3）当

39、a

40、=

41、b

42、时，又a≠b，则不等式也成立。综上所述，原不等式得证。（证法5）我对甲的做法给予了肯定。还有吗？学生乙说，因为与分别可视为点（a，1）与（b，1）到原点的距

43、离，6如图所示中有

44、OA

45、—

46、OB

47、＜

48、AB

49、亦即

50、-

51、＜

52、a-b

53、（证法6）yAB教师说；很好！还有吗？ox这时，学生丁他说若设y=则y2-X2=1(y＞0)即方程表示等轴双曲线的上支如图3（1）

54、a

55、≤

56、b

57、,则由双曲线渐近线的几何意义-

58、a

59、≥-

60、b

61、即-

62、＜

63、a

64、-

65、b

66、由a≠b得

67、a-b

68、＞

69、b

70、-

71、a

72、

73、a

74、-

75、b

76、＞-

77、a-b

78、又≥所以-

79、-

80、＞-

81、a-b

82、即

83、-

84、＜

85、a-b

86、（2）当

87、a

88、＞

89、b

90、则有-

91、a

92、＜-

93、b

94、所以-

95、＜

96、a

97、-

98、b

99、＜

100、a-b

101、＞从而有-

102、＜

103、a-b

104、成立。（证法7学生戊采用

105、的是复数法由及可类比到复数模的形式，不妨设为z1=1+ai，z2=1+bi，1、a、b为互异实数，则椐椐复数三角不等式，

106、

107、z1

108、-

109、z2

110、

111、≤

112、z1+z2

113、≤

114、z1

115、+

116、z2

117、有-

118、＜

119、a-b

120、（证法8）6学生在老师的指导下，对例题教学进行反思，多角度、多方