高中数学 第三章 统计案例 . 回归分析的基本思想及其初步应用学案 新人教a版选修-

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1、3．1　回归分析的基本思想及其初步应用[学习目标]1．了解随机误差、残差、残差图的概念．2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．3．掌握建立线性回归模型的步骤．[知识链接]1．什么叫回归分析？答　回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．2．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？答　不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．[预习导引]1．线性回归模型(1)函数关系是一种确定性关系，而相

2、关关系是一种非确定性关系．(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－，其中(，)称为样本点的中心．(4)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．2．残差的概念对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1，2，…，n，其估计值为i＝yi－i＝yi－

3、xi－，i＝1，2，…，n，i15称为相应于点(xi，yi)的残差．3．刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．(2)残差平方和法残差平方和(yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好．(3)利用R2刻画回归效果R2＝1－；R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示回归的效果越好.要点一　求线性回归方程例1　某班5名学生的

4、数学和物理成绩如下表：学生学科　　　　ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．解　(1)散点图如图．15(2)＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.x＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以＝＝≈0.625.＝－≈67.8－0.625×73.2＝2

5、2.05.所以y对x的回归直线方程是＝0.625x＋22.05.(3)x＝96，则＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.规律方法　(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．跟踪演练1　以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积/m211511080135105销售价

6、格/万元24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．解　(1)数据对应的散点图如下图所示：15(2)＝xi＝109，(xi－)2＝1570，＝23.2，(xi－)(yi－)＝308.设所求回归直线方程为＝x＋，则＝＝≈0.1962，＝－＝0.18142.故所求回归直线方程为＝0.1962x＋1.8142.回归直线如上图所示．(3)据(2)，当x＝150m2时，销售价格的估计值为＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442

7、(万元)．要点二　线性回归分析例2　为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求线性回归方程；(2)求出R2；(3)进行残差分析．解　(1)散点图如图＝(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，＝(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，x＝2275，xiyi＝1076.215计算得，≈0.183，≈6.285，所求回归直线方程为＝0.183x＋6.285.(2)

8、列表如下：yi－i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi