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时间:2018-07-20
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1、§3-6条件平差估值的统计性质2学时 在条件平差中,根据最小二乘原理,求出了平差值(观测量的最或然值)和单位权中误差。本节我们用数理统计理论来讨论这些平差结果的统计性质。一、观测量平差值具有无偏性根据数理统计理论,要证明的无偏性,就是证明的数学期望等于相应的真值,即:(3-6-1)根据(3-1-6)、(3-1-14)和(3-1-19)式,得两边取期望得:由于,且,得二、观测值平差值的方差最小(有效性)根据矩阵的迹的定义,要证明具有最小方差,需要证明平差值方差的迹tr()为最小即可。而根据方差的定义,也可以证明平差
2、值协因数阵的迹tr()为最小,即tr()=min或tr()=min(3-6-2)可以用反推法求的具有最小方差的无偏估计量是。为此,仿照平差值表达式,另设函数:(3-6-3)式中G为待求系数先证明是的无偏估计:对(3-6-3)式两端取数学期望,得3由于,而W=-(AL+A0),则上式写为即,无论系数G为什么值,都是的无偏估计,的无偏估计不唯一。将(3-6-3)式写为(3-6-4)按协方差传播规律,得估计量的方差阵为=(3-6-5)为求使tr()=min的G的值,可对(3-6-5)式两端求迹后,再对G求偏导,得(3-
3、6-6)(3-6-7)其中=0,=DLLAT,=DLLAT,=2GADLLAT代入(3-6-7)式,并使其为零,得而DLL=σ02Q,代入上式,整理得GAQAT-QAT=0(3-6-8)即GN–QAT=0(3-6-9)则G=QATN–1(3-6-10)将上式代入(3-6-3)式,得(3-6-11)可见是的方差最小的无偏估计,即是的最优无偏估计。三、单位权方差的无偏性3单位权方差的无偏性是指单位权方差的估值是其无偏估计量,即要证明:E()=(3-6-12)估值的计算式对于改正数向量V,其数学期望为E(V),方差阵为
4、DVV,相应的权阵为P(P为对称可逆阵),根据数理统计理论,V向量的任一二次型的数学期望可表达成下式:(3-6-13)式中,E(V)=0,DVV=QVV,则(3-6-13)式可写为(3-6-14)由(3-1-29)知QVV=,代入上式,得(3-6-15)由于(ATN–1)和(AQ)都是方阵,根据矩阵的迹的性质,有:tr(ATN–1AQ)=tr(AQATN–1)=tr(NN–1)=r(3-6-16)上式代入(3-6-15)式后,根据单位权中误差的计算公式,得(3-6-17)从而可得,单位权方差的估值是其无偏估计量。
5、对于附有参数的条件平差结果的统计性质,证明方法要略微复杂些,这里不再详细介绍。作业:习题集3.1,3.3,3.5,3.6,3.73
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