3-6 条件平差估值的统计性质

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1、§3-6条件平差估值的统计性质2学时 在条件平差中，根据最小二乘原理，求出了平差值（观测量的最或然值）和单位权中误差。本节我们用数理统计理论来讨论这些平差结果的统计性质。一、观测量平差值具有无偏性根据数理统计理论，要证明的无偏性，就是证明的数学期望等于相应的真值，即：(3-6-1)根据（3-1-6）、（3-1-14）和（3-1-19）式，得两边取期望得：由于，且，得二、观测值平差值的方差最小（有效性）根据矩阵的迹的定义，要证明具有最小方差，需要证明平差值方差的迹tr()为最小即可。而根据方差的定义，也可以证明平差

2、值协因数阵的迹tr()为最小，即tr()=min或tr()=min(3-6-2)可以用反推法求的具有最小方差的无偏估计量是。为此，仿照平差值表达式，另设函数：(3-6-3)式中G为待求系数先证明是的无偏估计：对（3-6-3）式两端取数学期望，得3由于，而W=-（AL+A0），则上式写为即，无论系数G为什么值，都是的无偏估计，的无偏估计不唯一。将（3-6-3）式写为(3-6-4)按协方差传播规律，得估计量的方差阵为=(3-6-5)为求使tr()=min的G的值，可对（3-6-5）式两端求迹后，再对G求偏导，得(3-

3、6-6)(3-6-7)其中=0，=DLLAT，=DLLAT，=2GADLLAT代入（3-6-7）式，并使其为零，得而DLL=σ02Q，代入上式，整理得GAQAT-QAT=0(3-6-8)即GN–QAT=0(3-6-9)则G=QATN–1(3-6-10)将上式代入(3-6-3)式，得(3-6-11)可见是的方差最小的无偏估计，即是的最优无偏估计。三、单位权方差的无偏性3单位权方差的无偏性是指单位权方差的估值是其无偏估计量，即要证明：E()=(3-6-12)估值的计算式对于改正数向量V，其数学期望为E(V)，方差阵为

4、DVV，相应的权阵为P（P为对称可逆阵），根据数理统计理论，V向量的任一二次型的数学期望可表达成下式：(3-6-13)式中，E(V)=0，DVV=QVV，则（3-6-13）式可写为(3-6-14)由（3-1-29）知QVV=，代入上式，得(3-6-15)由于(ATN–1)和(AQ)都是方阵，根据矩阵的迹的性质，有：tr(ATN–1AQ)=tr(AQATN–1)=tr(NN–1)=r(3-6-16)上式代入（3-6-15）式后，根据单位权中误差的计算公式，得(3-6-17)从而可得，单位权方差的估值是其无偏估计量。

5、对于附有参数的条件平差结果的统计性质，证明方法要略微复杂些，这里不再详细介绍。作业：习题集3.1,3.3,3.5,3.6,3.73