第章极限与函数-数列及其极限判断下列各无穷数列为收敛或

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1、19第1章　極限與函數第1章　極限與函數1-1　數列及其極限1.判斷下列各無窮數列為收斂或發散數列﹐若為收斂數列﹐求其極限﹒(1)　(2)　(3)　(4)　(5)(1)﹒(2)﹐因為當趨向無限大時﹐會趨向負無限大﹐所以為發散數列﹒(3)﹒(4)因為﹐所以數列為發散數列﹒(5)因為﹐所以數列為收斂數列﹐且﹒即﹒19第1章　極限與函數2.求下列各無窮數列的極限﹕(1)　(2)　(3)　(4)(1)﹒(2)﹒(3)﹒(4)﹒3.求下列各無窮數列的極限﹕(1)(2)(3)(4)(1)﹒(2)﹒(3)﹒(4)﹒19第

2、1章　極限與函數4.求下列各無窮數列的極限﹕(1)(2)(3)(4)(1)﹒(2)將分子分母同除以得到﹐因此﹒(3)因為﹐﹐所以﹒(4)因為　　　　　　﹐所以﹒19第1章　極限與函數5.(1)已知﹐求常數﹐﹒(2)已知﹐求常數﹐﹒(1)因為﹐所以﹐而﹐即﹒(2)﹒因此﹐﹐﹐解得﹐﹒6.已知﹐且存在﹐求﹒因為﹐且存在﹐將變形為﹐因此可得﹐所以﹒19第1章　極限與函數7.若數列﹐﹐﹐﹐為等差數列﹐且這項的算術平均數為﹐則　　　﹒﹐所求﹒8.試證﹕當正整數時﹐不等式恆成立﹒(1)當時﹐左式﹐右式﹐因此﹐原式成立﹒

3、(2)設（）時原式成立﹐即﹐則當時﹐左式﹐右式﹐將兩式相減﹐得左式右式因此左式大於右式﹐即﹐所以原式在時也成立﹒故由數學歸納法可知﹕當正整數時﹐不等式恆成立﹒19第1章　極限與函數第1章　極限與函數1-2　無窮等比級數1.求無窮級數的和﹒利用﹐得﹐根據無窮級數和的定義﹐因為﹐所以﹒19第1章　極限與函數2.判斷下列各無窮級數為收斂或發散級數﹐若為收斂級數﹐求其和﹒(1)(2)(3)(1)這是一個首項﹐公比的無窮等比級數﹐因為公比介於與之間﹐所以此無窮等比級數為收斂級數且其和為﹒(2)這是一個首項﹐公比的無窮

4、等比級數﹐因為公比介於與之間﹐所以此無窮等比級數為收斂級數且其和為﹒(3)這是一個首項為﹐公比為的無窮等比級數﹐因為公比﹐所以此無窮等比級數不能求和﹒3.求﹒原式﹒19第1章　極限與函數4.已知無窮等比級數的和為﹐且﹐求其首項及公比﹒由題意知﹐將式除以式﹐得﹐即﹐　Þ　或（不合）﹐當時﹐﹐即首項為﹐公比為﹒5.設等比數列的前項和為﹒若首項﹐且﹐求的值﹒設等比級數公比為﹒由等比級數公式得知﹐﹐﹒因此﹐﹐解得　Þ　﹒故﹒19第1章　極限與函數6.一個面積為的正方形﹐先將其等分成個相同的小正方形﹐並將右上角和左下

5、角的二個正方形塗色﹐如第圖﹒再將第圖中左上角的小正方形等分成個更小的正方形﹐並將右上角和左下角的二個正方形塗色﹐如第圖﹒依照這樣的規律作成若干圖形﹒　　　　　　設是第個圖形中白色區域的面積﹐求(1)﹐﹒(2)﹒(1)第圖中塗色部分與白色部分均為原正方形面積的﹐即均為﹐因此﹐﹒又因為第圖增加的塗色部分為的﹐所以白色部分將減少的﹐因此﹐﹒(2)以此類推可知﹕第個圖較第個圖減少的白色部分的面積為﹒因此﹐﹒19第1章　極限與函數7.將下列各循環小數化成分數﹕(1)(2)(1)因為是首項﹐公比的無窮等比級數﹐所以由求

6、和公式得﹕﹒(2)﹒8.已知一無窮等比級數的首項為﹐第二項為﹐求此級數的和﹒首項為﹐第二項為﹐公比為﹒此無窮等比級數的和﹒19第1章　極限與函數9.已知對於每一個正整數﹐數列滿足﹐求﹒由可得﹒因為﹐﹐所以由夾擠定理可知﹕﹒10.利用不等式﹐﹐﹐﹐﹐﹐求﹒利用不等式﹐　　　　得﹐　　　　　﹐　　　　　　　　　　　　　　﹐將所有不等式相加﹐得﹐因為﹐且﹐所以由夾擠定理﹐得﹒19第1章　極限與函數第1章　極限與函數1-3　函數的概念1.已知函數﹐求﹕(1)的定義域(2)的值域(1)因為分母不可為﹐所以的定義域為﹒

7、(2)當時﹐﹔當時﹐﹒故的值域為﹒2.已知函數﹐求﹕(1)的定義域(2)的值域(1)因為根號內不可為負數﹐所以　Þ　　Þ　﹒解得﹒故的定義域為﹒(2)因為且﹐所以﹒故的值域為﹒19第1章　極限與函數3.已知函數﹐求﹕(1)的定義域(2)的值域(1)因為真數﹐即﹐所以的定義域為﹒(2)因為﹐所以﹒故的值域為﹒4.已知函數的定義域為﹐求的值域﹒(1)函數的圖形是以為頂點﹐直線為對稱軸之開口向下的拋物線﹒(2)因為定義域為﹐所以函數圖形為拋物線的一部分﹐如下圖中的實線部分﹕因為圖形的最高點為頂點﹐最低點為﹐所以函

8、數的值域為﹒5.設的值域為﹐求的定義域﹒由　Þ　　Þ　﹒得的定義域為﹒19第1章　極限與函數6.求的值﹐其中符號為高斯符號﹒原式　　　　﹒7.已知函數與﹐求下列各函數﹕(1)(2)(3)(1)﹒(2)﹒(3)﹒8.設﹐求一次函數使得﹒設﹐則﹒因為﹐所以且﹐解得﹐﹐即﹒19第1章　極限與函數第1章　極限與函數1-4　函數的極限1.求下列各極限﹕(1)(2)(1)原式﹒(2)原式　　﹒2.求下列各極限﹕(1)(2)(