2012北京市高三一模理科数学分类汇编10：复数推理与证明

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1、12999数学网www.12999.com2012北京市高三一模数学理分类汇编10：复数，推理与证明【2012北京市海淀区一模理】（9）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数=.【答案】【2012北京市房山区一模理】9.是虚数单位，则__.【答案】【2012年北京市西城区高三一模理】8．已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】本题可转化为二进制，集合中的二进制数为，因为，所以最大的二进制数为1111，最小的二进制数1000，对应的十进制数最大为15，最小值为8，则，8到15之间的所有整数都有集

2、合中的数，所以所有元素之和为，选C.【2012北京市丰台区一模理】14．定义在区间[a，b]上的连结函数，如果，使得，则称为区间[a，b]上的“中值点”。下列函数：①②③；④中，在区间[0，1]上“中值点”多于一个函数序号为。（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】①④【2012北京市海淀区一模理】（14）已知函数则（ⅰ）=；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是.【答案】①③12999数学网www.12999.com第-7-页共7

3、页12999数学网www.12999.com【2012北京市门头沟区一模理】9．复数为纯虚数，则．【答案】1【2012北京市东城区一模理】（1）若，，是虚数单位，且，则的值为（A）（B）（C）（D）【答案】D【2012北京市朝阳区一模理】1.复数A.B.C.D.【答案】A【2012北京市石景山区一模理】2．在复平面内，复数对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，所以对应点在第四象限，答案选D.【2012北京市石景山区一模理】14．集合现给出下列函数：①，②，③，④，若时，恒有则所有满足条件的函数

4、的编号是．【答案】①②④【解析】由可知,画出相应的图象可知，①②④满足条件。【2012北京市朝阳区一模理】20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列．设，．（Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；12999数学网www.12999.com第-7-页共7页12999数学网www.12999.com（Ⅱ）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；（Ⅲ）若数列，经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数．【答案】解：（Ⅰ）若，则；；

5、；；．若，则；；；．………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：．易知和是互逆变换．………5分对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得，则必有（若，则还可作变换）．反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形．假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，若，则由变换的定义，不能变为；若，则，经过一次变换，有由于，可知（至少3个1）不可能变为．12999数学网www.12999.com第-7-页共7页12999数学网www.

6、12999.com所以，同理令，，则，所以，．因为，，故由归纳假设，有，．再由与互逆，有，，所以，，从而唯一性得证．………9分（Ⅲ）显然，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知，通过变换，不能变为．由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，，所以为整数，于是，，所以为除以后所得的余数，即．………13分【2012年北京市西城区高三一模理】20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数

7、列各项均为时变换结束．（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；12999数学网www.12999.com第-7-页共7页12999数学网www.12999.com（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．【答案】（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形．………………2分数列能结束，各数列依次为；；；．………………3分（Ⅱ）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．………………4

8、分若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．……………5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．当时，数列．由数列为常数列