9.7抛物线课时训练

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1、§9.7　抛物线一、选择题(每小题7分，共35分)1．(2010·陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)A.B．1C．2D．42．(2010·山东)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－23．已知d为抛物线y＝2px2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd等于(　　)A.p2B．p2C.D.4．抛物线y2＝－ax的准线方

2、程为x＝－2，则a的值为(　　)A．4B．－4C．8D．－85．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，则

3、PA

4、＋

5、PM

6、的最小值是(　　)A.B．4C.D．5二、填空题(每小题6分，共24分)6．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程是__________．7．(2010·重庆)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，

7、AF

8、＝2，则

9、BF

10、＝________.8．(2010·全国II)已知抛物线C：（p>0）的准线为l，过

11、M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B,若,则p=.9．当x>1时，直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方，则a的取值范围是__________．三、解答题(共41分)10．(13分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．11．(14分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，且过点P(2,2)，过F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．(1)求抛物线的方程；(2)设直线l是抛物线的准线，求证

12、：以AB为直径的圆与准线l相切．12．(14分)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.答案1.C2.B3.D4.D5.C6.y2＝16x或x2＝－8y7.28.2.9.(－∞，4)10.解　依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别

13、为C、D，则由抛物线定义得

14、AB

15、＝

16、AF

17、＋

18、FB

19、＝

20、AC

21、＋

22、BD

23、＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.点评　(1)根据问题的条件，抛物线方程可能是y2＝2px(p>0)，也可能是y2＝－2px(p>0)，任何一种情况

24、都不要漏掉．(2)要由定“性”和“量”两个方面来确定抛物线的方程．定“性”，即确定开口方向，便于设抛物线的方程．定“量”，即求所设方程中的参数p.11.(1)解　设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.∴y2＝2x为所求抛物线的方程．(2)证明　设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：x2－(1＋2t2)x＋＝0，设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝.∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2，又AB＝x1＋x2＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l

25、相切．点评　本题第(2)问在证明时，易忽略对直线无斜率情况的讨论．本解法既可防止漏掉无斜率的情况，同时又避免了分类讨论．12.(1)解　依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.(2)证明　因为直线AB与x轴不垂直，设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．由可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，

26、k2＝x2，k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.所以AQ⊥BQ.