2014届高三数学一轮 9.7 抛物线课时检测 理 （含解析）北师大版

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1、9.7抛物线一、选择题1．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝(　　)A.B.C．－D．－解析根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－.答案　D2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝(　　)A.　　　　　　　　B．1C．2D．3解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．答案C3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切

2、，则p的值为(　　)．A.B．1C．2D．4解析　抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.答案　C4．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，

3、AB

4、＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)．A．18B．24C．36D．48解析　如图，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．∵当x＝时，

5、y

6、＝p，∴p＝＝＝6.又P到AB的距

7、离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36.答案　C5.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（）A．B．C．D．答案　C6．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)．A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3解析　结合图象可知，过焦点斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形．本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦．答案　C7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)A.B．

8、3C.D.解析依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为

9、PP′

10、＝

11、PF

12、，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝

13、PF

14、＋

15、PA

16、≥

17、AF

18、＝＝.答案　A二、填空题8．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为＋＝＝.答案9．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的

19、轨迹方程为________．解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案　y2＝4x10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足

20、NF

21、＝

22、MN

23、，则∠NMF＝________.解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝.答案11．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最

24、大值为________．解析　依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝－1.答案　－112.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=。答案　三、解答题13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,

25、2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．解析(1)设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.∴y2＝2x为所求抛物线的方程．(2)证明：设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：y2－2ty－1＝0，设AB的中点为M(x0，y0)，则y0＝t，x0＝.∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2.又AB＝2x0＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．14．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135

26、°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．解析　依题意，设抛物线方程为y2＝2p