第四章概率统计模型

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1、第四章概率统计模型本章的目的不是系统地介绍概率论和统计分析的内容，而是利用概率论和统计分析的知识建立和分析实际问题，从而建立数学模型。§4.1古典随机模型一、古典概型设E是随机试验，是E的样本空间，若只含有有限个基本事件——有限性；每个基本事件发生的可能性相同——等可能性。则称E为古典概型。在古典概型中，如果事件A是由全部n个基本事件中的某m个基本事件复合而成的，则事件A的概率可用下式来计算：例1配对问题某人先写了n封投向不同地址的信，在写n个标有这n个地址的信封，然后随意的在每个信封内装入一封信。试求信与地址配对的个数的数学期望。解：用表示“第i封信与地址配对

2、”这一事件，则为求，可利用一般加法公式来计算。第i封信可装入n个信封，恰好和地址配对的概率，故如出现，第j封信共有n－1个信封可以选择，故从而类似地可得到20于是q0与n有关，如记q0=q0(n),则利用q0不难求出qr。于是指定某r封信和地址配对，则这一事件的概率为其余n－r封信中没有一个和地址配对的概率为由于r封信与地址配对共有种选法，故设信与地址配对的对数为随机变量，则有数学期望直接计算有些困难，可设则有又由于从而这样一来，实际上我们还用概率的方法证明了下列恒等式20二、几何概型将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。一般讲，具有

3、下列特点的概率问题称之为几何概型：（1）有一个可度量的几何图形，试验E看成是在中随机的投掷一点，即为样本空间。而事件A就是所投掷的点落在中的可度量图形A中。（2）事件A的概率与A的度量L（A）成正比。几何概型的概率定义为其中L表示测度，即度量，可以是长度、面积和体积。例2蒲丰（Buffon）投针问题1777年法国科学家蒲丰提出了下列著名问题，这是几何概型的一个早期例子。平面上画有等距离为a的一些平行线，向此平面任投一长为l（l的针，试求此针与任意平行线相交的概率。解以M表示针落下去后的中点，x表示中点M到最近一条平行线的距离，表示针与平行线的交角，那么，基本事件

4、区域为它为平面上的一个矩形，其面积为：。为使针与平行线（这线必定是与M最近的一条平行线）相交，其充分必要条件是:显然A是中的一个区域。而A的面积为从而所求概率为三、贝努利概型贝努利概型是一种描述在相同的条件下重复进行同一试验的数学模型。它的特点是：每次试验的结果只有两种可能，即事件A或；各此试验的结果相互独立。再生产过程中，产品或者合格或者不合格；投篮时或者投中或者投不中；掷硬币时，或者出现正面或者出现反面等等，都可以用贝努利概型来描述。20为了建立模型的需要，我们用数值1和0分别表示贝努利试验中的两种对立的结果，并假设p(0

5、概率，因而以0代表的结果（）出现的概率为1-p。则称随机变量服从于贝努利分布或两点分布。四、二项分布概型假设在同一条件下，对贝努利概型所描述的试验，重复n次，设为在n次试验中事件A出现的次数。显然是随机变量，其取值范围为0，1，2，……，n。根据简单的组合理论可以证明，取这些值的概率为其中p为事件A在一次试验中出现的概率；q=1-p为事件出现的概率。由于pk可分别表示成（p+q）n的展开式的各项，因此称服从于二项分布，简记为~b(n,p)。需要指出的是，，当n较小时，可利用上式直接计算pk,但当n较大，根据p的大小可用另外的一些概率模型（泊松分布概型或正态分布概

6、型）来逼近pk。例3巴拿赫（Banach）火柴盒问题波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有n根火柴，每次使用时，便随机的从其中一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数的分布律。解：设A={取左衣袋中的一盒}，={取右衣袋中的一盒}。取一次火柴看作一次试验，而每次试验的结果有两个：A发生或发生。显然P(A)=P(为方便起见，我们约定取到左衣袋中的一盒叫“成功”，于是可以用贝努利概型来描述这个问题了。此人首次发现左衣袋中的一盒是空的，这是他不是在作第n次成功的试验,而是作第n+1次成功的试验了，而此时右边一盒恰剩k根相

7、当于在n+1次成功以前恰有n-k次失败，于是共作了(n+1)+(n-k)=2n-k+1此贝努利试验，即A发生了n+1次，发生了n-k次。但第2n-k+1次是成功的，而前2n-k次中有n次成功。因此，发现左衣袋中空时，右衣袋中恰有k根火柴的概率为由对称性，若发现右边一盒已空而左边一盒剩k根的概率也是设为发现其中一盒已空而另一盒剩下的火柴根数，则是一个离散型随机变量，取值范围是0，1，2，……，n，且的分布律为202，……，n五、几何分布概型考察一系列贝努利试验，设表示首次发生事件A的试验次数。即表示在第k次试验时，事件A才第一次发生，则的取值范围为1，2，…，k，

8、…。由于要使首次发生事件