任意角的三角函数1

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1、任意角的三角函数　　　　　　　　　　　　目标认知：学习目标：　　1．理解任意角的正弦，余弦，正切的定义；　　2．能判断各象限角的正弦，余弦，正切函数的符号；　　3．理解终边相同的角的同一三角函数值相等；　　4．认识任意角的正弦线，余弦线与正切线；　　5．理解同角三角函数的基本关系并掌握其应用；　　6．培养学生运用数形结合思想分析、解决问题的能力．学习重点：　　1．任意角的正弦，余弦，正切的定义；　　2．的推导及应用．学习难点：　　1．单位圆与有向线段，正弦线，余弦线与正切线；　　2．灵活运用公式进行求值、化简、证明等．内容解析：1．任意角三角函

2、数的定义　　将角的概念推广并且利用弧度制度量角后，可以利用直角坐标系定义任意角的三角函数．设是任意角，的终边上任意一点P（除端点外）的坐标是(x,y)，那么它与原点的距离是．　　定义：（1）正弦；（2）余弦；（3）正切．　　类似地，这三个比值的倒数分别有如下定义：　　（4）余割；（5）正割；（6）余切8．　　以上六种函数统称三角函数．　　注意：[1]角的终边上取不同的点是否导致函数值的变化？　　　　　[2]强调函数思想，如考虑定义域等．2．任意角三角函数的应用　　（1）求已知角的三角函数值；　　　　由定义可知：终边相同的角的同一个三角函数值相等

3、．即：　　　　，　　（2）判断三角函数值在各象限的符号．　　　　　　3．三角函数线　　任意角的三角函数的定义与P点的选取无关．因此，通常会选定r=1，这样做，很多结论会更方便．我们称圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．这样，的三角函数值就与终边上的点P的坐标有关．有如下结论：，．　　设角的顶点在圆心O，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N．以A为原点建立y’轴与y轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点T（或T’），则有向线段OM，ON，AT（或AT’）分别叫作的余弦线，正弦线，正切线．　　有向

4、线段：既有大小又有方向的线段．4．三角函数线的应用　　利用正弦线和余弦线研究sinx和cosx在上的大小变化以及sin(-x)与sinx的关系，cos(-x)与cosx的关系，为后面讲授诱导公式及研究三角函数的性质作铺垫．5．同角三角函数的基本关系：，　　法一：在单位圆中由三角函数的定义和勾股定理可得．　　关键是必须理解角终边与单位圆的交点P的坐标为P，即，可得，再由定义得8　　法二：依据三角函数的定义直接推导．　　注意1：教材采用单位圆来推导，主要是为了直观、简洁，是“数”与“形”的结合．　　注意2：在以往教材中同角三角函数的基本关系共给出了

5、8个公式，包括　　①平方关系：，，　　②商数关系：，　　③倒数关系：，，　　而本教材中只列出了，两个，再加上前面讲三角函数定义时给出的三个倒数关系，，，实际上共有5个关系式．只要紧紧抓住这两个最主要的关系，再加上倒数关系，就完全可以沟通6个三角函数的关系了．　　视情况补充？　　注意3：讲同角三角函数的基本关系时，应突出同角的特征，同角三角函数的基本关系将“同角”的三种重要的三角函数直接或间接的联系起来，使用时一要抓住本质，跟角的具体形式无关（如：）；二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的．6．同角三角函数基本关系的主要应用：　　（

6、1）已知某角的三角函数值，求它的其余三角函数值；　　（2）化简三角函数式；　　（3）证明三角恒等式．　　注意1：在应用同角三角函数的基本关系做以上求值、化简、证明时，应能灵活运用公式，如根据需要可以　　把变形为，，，　　把1用，，，代替　　把变形为等等．　　注意2：已知某角的三角函数值，求它的其余三角函数值时要注意角所在的象限，这主要是在使用时，要根据角8所在的象限恰当选定根号前的正负号．这类题通常有下列几种情况：　　（1）已知某角的三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；　　（2）已知某角的三角函数值，但没有指定角的象限，那么由已知三

7、角函数值确定角可能在的象限，然　　　　后求解，这种情况一般有二组解；　　（3）如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有指定角在哪个象限，那么需要进行分类讨论．　　注意3：这一节在求三角函数值时，贯彻解方程组的通法，将正弦、余弦、正切看作未知数．　　注意4：化简的基本要求：尽量减少角的种数、尽量减少三角函数的种数、尽量化为同角同名等，其它思想还有异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为差、特殊角三角函数与特殊值互化等．化简一定要化到最简形式．　　注意5：常用的三角恒等式证明方法：　　（1）从等式的一边开始证，得它的另一边；　　

8、（2）综合法：由一个已知成立的等式恒等变形得到所要证明的等式；　　（3）证明等式左右两边都等于同一个式子；　　（4）分析法：强调推理过程要正确，如“只