2018年高考数学 考点一遍过 专题48 排列与组合 理

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1、专题48排列与组合（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.1．排列（1）排列的定义一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数、排列数公式从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完

2、成“这件事”可以分为m个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法.这样，我们就得到公式，其中，且.这个公式叫做排列数公式.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n14个不同元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定1.于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，

3、排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.2．组合（1）组合的定义一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.，其中，且.这个公式叫做组合数公式.因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且.另外，我们规定.（3）组合数的性质性质1：.性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.性质2：

4、.性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合.14考向一排列数公式和组合数公式的应用这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.典例1求下列方

5、程中的值.（1）.（2）.,∴原方程的解是.【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.1．（1）求的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）14=（m+1）.考向二排列问题的求解解决排列问题的主要方法有：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决

6、相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.典例2室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师

7、决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作答）【答案】5762．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是14A．12B．24C．36D．48考向三组合问题的求解组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意

8、题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.典例3某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A．85B．86C．91D．90【答案】B入选的方法种数为120−34=86.3．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶