考点09 函数与方程-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

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1、考点09函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.一、函数的零点1．函数零点的概念对于函数yf(x),xD，我们把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x),xD的零点．2．函数的零点与方程的根之间的联系函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标即方程f(x)0有实数根⇔函数yf(x)的图象与x轴有交点⇔函数yf(x)有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数

2、f(x)=x2＋1，由于方程x2＋1=0无实数根，故该函数无零点．23．二次函数yaxbxc(a0)的零点000二次函数2yaxbxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104．零点存在性定理如果函数yf(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.5．常用结论(1)若连续不断

3、的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数F(x)f(x)g(x)有零点方程F(x)0有实数根函数yf(x)与yg(x)的图象有交点；(4)函数F(x)f(x)a有零点方程F(x)0有实数根函数yf(x)与ya的图象有交点a{y

4、yf(x)}，其中a为常数.二、二分法1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点

5、，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；a．若f(c)=0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若

6、a−b

7、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看，同号

8、丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．考向一函数零点（方程的根）所在区间的判断函数零点的判定方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．(2)方程法：判断方程f(x)0是否有实数解．(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.x典例1函数fxex的零点所在的

9、区间为11A．1,B．,02211C．0,D．,122【答案】Dx1【解析】易知函数fxex的图象是连续的，且通过计算可得f1e1e10，1111101111fe2e0，f0e010，fe20，22222e211f1e110，e1由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为,1.2本题选择D选项.【规律总结】首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所

10、在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．3典例2在用二分法求方程x2x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.3【答案】,223【解析】令fxx2x1，3275f310，f120，f28530，2883故下一步可以断定根所在区间为,2.2

11、3故填,2.21．已知函数f(x)=mx+1的零点在区间