（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题09 函数与方程（含解析）理

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1、考点09函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.一、函数的零点1．函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．2．函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x2＋1，由于方程x2＋1=0无实数根，故该函数无零点．3．二次函数的零点二次函数的图象与x轴

2、的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104．零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.5．常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.二、二分法1．二分法的概念对于在区间上

3、连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：①确定区间，验证，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；a．若f(c)=0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若

4、a−b

5、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则

6、重复②③④.【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看，同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．考向一函数零点（方程的根）所在区间的判断函数零点的判定方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数必须在区间上是连续的，当时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．(2)方程法：判断方程是否有实数解．(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.典例1函数的零点所在的大致区间是A．(1,2)B．(2,3)C．(3,

7、4)D．(1,2)与(2,3)【答案】B点．【规律总结】判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．1．方程log3x＋x=3的解所在的区间为A．(0,2)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)考向二函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．学.(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a

8、)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.典例2函数f(x)=2x＋lg(x＋1)−2的零点有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B零点．2．函数的零点个数为A．0B．1C．2D．3考向三函数零点的应用问题高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主

9、要有以下几种常见类型及解题策略．1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的

10、大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小；②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.典例3对任意实数a，b定义运算“⊗”：,设，若函数恰有三个零点，则实数k的取值