2019年高考数学（理）考点一遍过 考点09 函数与方程含解析

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1、考点09函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.一、函数的零点1．函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．2．函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x2＋1，由于方程x2＋1=0无实数根，故该函数无零点．3．二次函数的零点二次函数的图象与

2、x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104．零点存在性定理如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.5．常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.二、二分法1．二分法

3、的概念对于在区间[a，b]上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；a．若f(c)=0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若

4、a−

5、b

6、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看，同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．考向一函数零点（方程的根）所在区间的判断函数零点的判定方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数必须在区间[a，b]上是连续的，当时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．(2)方程法：判断方程是否有实数解．(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.典例1函数的零

7、点所在的区间为A．B．C．D．【答案】D【规律总结】首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．典例2在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.【答案】【解析】令，，，，故下一步可以断定根所在区间为，故填.1．若函数在区间上存在一个

8、零点，则的取值范围是A．B．或C．D．2．已知函数．（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f（x）=0，x∈[0，2]的实数解x0在哪个较小的区间内．考向二函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性

9、质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.典例3函数f(x)=2x＋lg(x＋1)−2的零点有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】解法一：因为f(0)=1＋0−2=−1<0，f(2)=4＋lg3−2=2+lg3>0，所以由函数零点存在性定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点．又f(x)=2x＋lg(x＋1)−2在(−1，＋∞)上为增函数，故f(x)=0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点．解法二：在同一坐

10、标系中作出h(x)=2−2x和g(x)=lg(x＋1)的图象，如图所示，由图象可知h(x)=2−2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一个交点，即f(x)=2x＋lg(x＋1)−2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点．3