2019年高考数学（理）考点一遍过 考点36 圆的方程含解析

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1、（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能用圆的方程解决一些简单的问题.一、圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径区别与联系（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意

2、义，不表示任何图形．二、点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x0，y0）在圆上点（x0，y0）在圆外点（x0，y0）在圆内三、必记结论（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：，其中a，b为定值，r是参数；②半径相等的圆系方程：，其中r为定值，a，b为参数．考向一求圆的方程1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，

3、待定系数法是求圆的方程常用的方法．2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．典例1圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆心坐标为，圆的半径为1，且过点，，解得，所求圆的方程为.故选C.【名师点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.设出圆心坐标，利用半径为1，且过点，即可求得结论.1．已知圆，为坐标原点，则以为直径的圆的方程为A．B．C．D．考向二与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称

4、的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．典例2（1）已知圆C1：（x+1）2+（y－1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为A．B．C．D．（2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx+2y－4=0对称，则k的值为_________．【答案】（1）B；（2）2．【解析】（1）圆C1的圆心为（－1，1），半径长为1，设圆C2的圆心为（a，b），由题意得且，解得a

5、=2，b=－2，所以圆C2的圆心为（2，－2），且半径长为1，故圆C2的方程为（x－2）2+（y+2）2=1．（2）已知圆（x+1）2+（y－3）2=9的圆心为（－1，3），由题设知，直线kx+2y－4=0过圆心，则k×（－1）+2×3－4=0，解得k=2．2．圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为A．0B．1C．±2D．2考向三与圆有关的轨迹问题1．求轨迹方程的步骤如下：建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标．写集合：写出满足复合条件P的点M的集合．列式：用坐标表示，列出方程．化简：化方程为最简形式．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．求与圆有关的轨迹方程

6、的方法典例3已知点P（2,2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求点M的轨迹方程；（2）当

7、OP

8、＝

9、OM

10、时，求直线l的方程及的面积．【答案】（1）M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2；（2）l的方程为y＝－x＋，的面积为．3．已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.（1）求的轨迹方程；（2）当时，求的方程及的面积.考向四与圆有关的最值问题对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值

11、．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．典例4与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是A．B．C．D．【答案】C【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题.典例5已知点在圆上．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）的最大值为，最小值为；（2）的最大值为，最小值为.【解析】（1）设，则，t可