2019年高考数学(理)考点一遍过 考点39 双曲线含解析

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1、(1)了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(3)了解双曲线的简单应用.(4)理解数形结合的思想.一、双曲线的定义和标准方程1.双曲线的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、且大于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)符号语言:.(3)当时,曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支;当时,曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支;当时,轨迹为

4、分别以F1,F2为端点的两条射线;当时,动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式:(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a>0,b>0),焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),焦距为2c,且,如图1所示;(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a>0,b>0),焦点分别为F1(0,-c),F2(0,c),焦距为2c,且,如图2所示.图1图2注:双曲线方程中a,b的大小关系是不确定的,但必有c>a>0,c>b>0.3.必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)与双曲线(a>0,b>0)有共同渐近线的

5、双曲线方程可设为.(3)若双曲线的渐近线方程为,则双曲线方程可设为或.(4)与双曲线(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为.(5)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为.(6)与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为.二、双曲线的几何性质1.双曲线的几何性质标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)图形范围,,对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点焦点左焦点F1(-c,0),右焦点F2(c,0)下焦点F1(0,-c),上焦点F2(0,c)顶点轴线段A1A2是双曲线的实轴,线段B1B2是双曲线的虚轴;实轴长

6、A1A2

7、

8、=2a,虚轴长

9、B1B2

10、=2b渐近线离心率e2.等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线具有以下性质:(1)方程形式为;(2)渐近线方程为,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;(3)实轴长和虚轴长都等于,离心率.考向一双曲线的定义和标准方程1.在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.2.求双曲线方程时,一是注意判断

11、标准形式;二是注意a、b、c的关系易错易混.典例1已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,

12、PF1

13、=2

14、PF2

15、,则cos∠F1PF2=A.B.C.D.【答案】C∴cos∠F1PF2==.典例2已知F为双曲线的左焦点,为上的点.若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为__________.【答案】44【解析】易知双曲线的左焦点为,点是双曲线的右焦点,虚轴长为,双曲线的图象如图:1.若双曲线=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则

16、PF

17、+

18、PA

19、的最小值是________. 

20、考向二求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时,先确定双曲线的类型,也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,从而设出相应的标准方程的形式,然后利用待定系数法求出方程中的的值,最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或可直接设双曲线的方程为.典例3已知双曲线与双曲线的焦点重合,的方程为,若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍,则的方程为__________________.【答案】典例4如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1

21、及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.2.已知分别是双曲线E:的左、右焦点,P是双曲线上一点,到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当时,的面积为,求此双曲线的方程.考向三双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线,有下面两种考查方式:(1)已知双曲线的方程求其渐近线方程;(2)给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程,由渐近线方程可确定a,b的关系,结合已知条件可解.典例5已知分别是双曲线的左、右焦点,的坐标为,若双曲线的右支上有一点,且满足,则该双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.【答案】A典例6如图,

22、已知F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足

23、F2P

24、=a,(+)·=0,线段F2P与双曲线C交于点Q,若

25、F2P

26、=5

27、F2Q

28、,则双曲线C的渐近线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【答案】B3.已知双曲线:,过左

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