2019年高考数学（理）考点一遍过 考点40 抛物线含解析

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1、（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛

2、物线的标准方程为；（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误.二、抛物线的几何性质1．抛物线的几何性质标准方程图形几何性质范围对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称焦点准线方程顶点坐标原点(0，0)离心率2．抛物线的

3、焦半径抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程焦半径公式3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为2p．4．必记结论直线AB过抛物线的焦

4、点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.（2）

5、AB

6、＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.（3）＋为定值.（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.考向一抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个定值1（抛物线的离心率）.2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线

7、上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．典例1平面内动点到点的距离和到直线：的距离相等，则动点的轨迹方程为是_____________.【答案】【解析】由题意知，该点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其中，所以方程为.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题.典例2抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则A．B．1C．2D．4【答案】C本题选择C选项.【名师点睛】本题主要

8、考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.1．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为A．B．2C．3D．4考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两

9、种标准方程.典例3若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4,则该抛物线的方程是A．y2=xB．y2=xC．y2=2xD．y2=x【答案】A典例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．（1）过点；（2）焦点在直线上．2．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是A．B．C．或D．或考向三抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技巧：要结合图形

10、分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5已知等腰三角形OPM中，OP⊥MP，O为抛物线=2px(p>0)的顶点，点M在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，则点P与抛物线的焦点F之间的距离是A．2pB．pC．2pD．p【答案】B【解析】由题意得因此点P与抛物线的焦点F之间的距离为，选B.【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距