2017届山东省威海市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

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2017年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={3，log2（a﹣2）}，B={a，a+b}，若A∩B={1}，则b的值为（　　）A．﹣3B．3C．1D．﹣12．若复数z满足iz=l+3i，其中i为虚数单位，则=（　　）A．﹣3+iB．﹣3﹣iC．3+iD．3﹣i3．给定两个命题p，q，“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图茎叶图表示一次朗诵比赛中甲乙两位选手的得分，则下列说法错误的是（　　）A．甲乙得分的中位数相同B．乙的成绩较甲更稳定C．甲的平均分比乙高D．乙的平均分低于其中位数5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a∥b的一个充分条件是（　　）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊂α，b⊥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β6．在平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点，=2，则AD=（　　）A．1B．2C．3D．47．已知，则cos=（　　）A．B．C．D．8．过点P（1，2）的直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5相切，若直线ax+y+ 3=0与直线l垂直，则a=（　　）A．B．C．D．29．设变量x，y满足约束条件，若目标函数z=mx﹣y取得最大值的最优解有无数个，则m=（　　）A．B．﹣1C．2D．10．设函数f（x）=，则满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围是（　　）A．B．）（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．.　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数y=的定义域为　　．12．已知展开式中，只有第3项的二项式系数最大，且展开式中含x2项的系数为a，则=　　．13．若∀x∈R，不等式|x+a|+|x+1|＞a都成立，则实数a的取值范围为　　．14．如图，在四边形ABCD中，∠B=，∠BCA=2∠CAD，CD=2，AD=AC=4，则AB=　　．15．双曲线C1：的焦点为F1，F2，其中F2为抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，设C1与C2的一个交点为P，若|PF2|=|F1F2|，则C1的离心率为　　． 　三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=，其图象上相邻的最高点和最低点的距离为．（I）求f（x）的解析式及对称中心；（II）求函数f（x）在上的最值．17．（12分）设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，O为△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=，D为AP上一点，且AD=2DP．（I）求证：DO∥平面PBC；（II）求证：AC⊥平面OBD；（III）设M为PC的中点，求二面角M﹣BD﹣O的正弦值．19．（12分）5件产品中混有2件次品，现用某种仪器依次检验，找出次品．（I）求检验3次完成检验任务的概率；（II）由于正品和次品对仪器的损伤程度不同，在一次检验中，若是正品需费用100元，次品则需200元，设X是完成检验任务的费用，求X的分布列和数学期望．20．（13分）已知函数f（x）=alnx﹣（a+b）x+x2（a，b∈R）． （I）若f（x）在x=1处取得极值，讨论函数f（x）的单调性；（II）当a=1时，设函数φ（x）=f（x）﹣x2有两个零点x1，x2．（i）求b的取值范围；（ii）证明：x1x2＞e2．21．（14分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．（I）求椭圆C1的方程；（II）设椭圆C2：为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．（i）求证：直线AB的方程为x0x+2y0y=2；（ii）当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．　 2017年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={3，log2（a﹣2）}，B={a，a+b}，若A∩B={1}，则b的值为（　　）A．﹣3B．3C．1D．﹣1【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用两个集合的交集的定义求得a的值和b的值，【解答】解：∵集合A={3，log2（a﹣2）}，B={a，a+b}，A∩B={1}，∴log2（a﹣2）=1，∴a=4，∴a+b=1，∴b=﹣3，故选：A．【点评】本题考查集合的表示方法、两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．　2．若复数z满足iz=l+3i，其中i为虚数单位，则=（　　）A．﹣3+iB．﹣3﹣iC．3+iD．3﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：iz=l+3i，∴﹣i•iz=﹣i（l+3i），∴z=﹣i+3．则=3+i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　3．给定两个命题p，q，“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的（　　） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“￢（p∨q）为假”⇔p∨q为真，而“p∧q为真”⇒p∨q为真，反之不成立．【解答】解：“￢（p∨q）为假”⇔p∨q为真，而“p∧q为真”⇒p∨q为真，反之不成立．∴“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　4．如图茎叶图表示一次朗诵比赛中甲乙两位选手的得分，则下列说法错误的是（　　）A．甲乙得分的中位数相同B．乙的成绩较甲更稳定C．甲的平均分比乙高D．乙的平均分低于其中位数【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，甲的中位数为88，乙的中位数为88，二者相同，A正确；甲的数据集中在76～94之间，不成单峰分布，乙的数据集中在77～93之间，成单峰分布，∴乙的成绩更稳定，B正确；甲的平均数是=×（76+77+88+90+94）=85，乙的平均数是=×（77+88+86+88+93）=86.4， 甲的平均数比乙的低，∴C错误；乙的中位数是88，平均数是86.4，平均数比中位数低，D正确．故选：C．【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据求中位数、方差、平均数的应用问题，是基础题．　5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a∥b的一个充分条件是（　　）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊂α，b⊥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题寻求线线平行的条件，逐一对四个选项中的条件进行判断，验证它们能否推出线线平行，从而选出正确选项【解答】解：A选项不是a∥b的一个充分条件，直线a，b的位置关系不能确定；B选项不是a∥b的一个充分条件，a⊂α，b⊥β，α∥β得到a⊥b；C选项是a∥b的一个充分条件，由a⊥α，α∥β，a⊥β；b⊥β，α∥β，得到b⊥α，于是得到a∥b；D选项不是a∥b的一个充分条件，由a⊂α，b∥β，α⊥β不能确定直线a，b的位置关系；故选C．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，正解解答本题，关键是掌握好充分条件的定义，以及线线平行的判断方法．本题考查空间想像能力以及推理论证能力．　6．在平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点，=2，则AD=（　　）A．1B．2C．3D．4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设||=x＞0．由向量的三角形法则可得、，代入=2，利用数量积的运算性质展开即可求得结果． 【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点，设||=x＞0，∵=+=+=+，=+=﹣+，∴•=（+）•（﹣）=+•﹣=x2+x•2•cos﹣22=x2﹣x﹣4=2，化为x2﹣x﹣12=0，∵x＞0，解得x=4，即AD=4．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算问题，是基础题．　7．已知，则cos=（　　）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意，利用诱导公式化简可得cos（）=，利用二倍角公式cos=2cos﹣1，代入计算可得答案．【解答】解：由题意，可得cos（）=， 那么cos=2cos﹣1=2×﹣1=故选B【点评】本题考查了诱导公式化简和二倍角公式的灵活运用．属于中档题．　8．过点P（1，2）的直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5相切，若直线ax+y+3=0与直线l垂直，则a=（　　）A．B．C．D．2【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出点P在圆上，圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5的圆心C（3，1），从而kPC=﹣，进而直线l的斜率k=﹣=2，再由直线ax+y+3=0与直线l垂直，能求出a的值．【解答】解：把P（1，2）代入圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，得（1﹣3）2+（2﹣1）2=5，∴点P在圆上，圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5的圆心C（3，1），∵过点P（1，2）的直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5相切，=﹣，∴直线l的斜率k=﹣=2，∵直线ax+y+3=0与直线l垂直，∴﹣a•2=﹣1，解得a=．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查圆、直线方程、斜率公式、直线与直线垂直的条件、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．　9．设变量x，y满足约束条件 ，若目标函数z=mx﹣y取得最大值的最优解有无数个，则m=（　　）A．B．﹣1C．2D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由题意可知当直线y=mx﹣z与直线x﹣2y+1=0重合时，使目标函数z=mx﹣y取得最大值的最优解有无数个，由此求得m值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=mx﹣y为y=mx﹣z，∵目标函数z=mx﹣y取得最大值的最优解有无数个，∴直线y=mx﹣z与直线x﹣2y+1=0重合，此时m=．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．　10．设函数f（x）=，则满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围是（　　）A．B．）（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．.【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知分m≤0和m＞0分别求出f（m），进一步得到f（f（m）），代入f（f（m））＞f（m）+1，由导数可得：当x＞0时，ex＞x+ 1，结合该式即可求得满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围．【解答】解：当m≤0时，f（m）=2m+1∈（﹣∞，1]，若2m+1≤0，即m，则f（f（m））＞f（m）+1⇔2（2m+1）+1＞2m+1+1，即m＞﹣（舍）；若2m+1＞0，即m，则f（f（m））＞f（m）+1⇔e2m+1＞2m+1+1，令g（x）=ex﹣x﹣1，g′（x）=ex﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，则g（x）＞g（0）=0，∴当x＞0时，ex＞x+1，故e2m+1＞2m+1+1成立，∴﹣；当m＞0时，f（m）=em＞0，则f（f（m））＞f（m）+1⇔＞em+1，令t=em（t＞1），则et＞t+1，∵当x＞0时，ex＞x+1成立，∴et＞t+1恒成立，则m＞0时不等式f（f（m））＞f（m）+1成立．综上，满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围是（﹣，+∞）．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数y=的定义域为　{x|x＞1}　．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及二次个数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：3x﹣2＞1，解得：x＞1，故函数的定义域是{x|x＞1}，故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．　 12．已知展开式中，只有第3项的二项式系数最大，且展开式中含x2项的系数为a，则=　+ln3　．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意结合二项式系数的性质，可知二项展开式中仅有5项，则n可求，再根据二项式展开式的通项公式展开式中含x2项的系数为a，再根据定积分计算即可【解答】解：由于展开式中第3项的二项式系数最大，可得n=4，则通项为C4r54﹣r（﹣1）r•x，令﹣4=2，解得r=4，∴展开式中含x2项的系数为a=C4454﹣4（﹣1）4=1，∴=（x+）dx=（x+lnx）=+ln2，故答案为：+ln3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用和定积分的计算，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．　13．若∀x∈R，不等式|x+a|+|x+1|＞a都成立，则实数a的取值范围为　（﹣∞，）　．【考点】R4：绝对值三角不等式．【分析】根据|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|以及题意，可得|a﹣1|＞a，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：∵|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|，∀x∈R，不等式|x+a|+|x+1|＞a都成立，∴|a﹣1|＞a，即a﹣1＞a，或a﹣1＜﹣a，求得a＜，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，函数的恒成立问题，属于基础题． 　14．如图，在四边形ABCD中，∠B=，∠BCA=2∠CAD，CD=2，AD=AC=4，则AB=　　．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】设∠CAD=θ，则∠BCA=2θ，根据余弦定理求出cosθ，再根据同角的三角函数的关系和二倍角公式求出sin2θ，再由正弦定理即可求出．【解答】解：设∠CAD=θ，则∠BCA=2θ在△ADC中，由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴sin2θ=2sinθcosθ=2××=，在△ABC中，由正弦定理可得=，∴AB==，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理和同角的三角函数的关系和二倍角公式，考查了学生的运算能力，属于中档题　15．双曲线C1：的焦点为F1，F2，其中F2为抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，设C1与C2的一个交点为P，若|PF2|=|F1F2|，则C1的离心率为　+1　．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n）位于第一象限，求出抛物线的焦点和准线方程，可得c= ，再由抛物线的定义，求得m，代入抛物线的方程可得n，代入双曲线的方程，由双曲线的a，b，c和离心率公式，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设P（m，n）位于第一象限，可得m＞0，n＞0，由题意可得F2（，0），且双曲线的c=，抛物线的焦点为准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得m+=|PF2|=|F1F2|=2c，即有m=c，n===2c，即P（c，2c），代入双曲线的方程可得，﹣=1，即为e2﹣=1，化为e4﹣6e2+1=0，解得e2=3+2（3﹣2舍去），可得e=1+．故答案为：1+．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的定义和点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．　三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2017•威海二模）已知函数f（x）= ，其图象上相邻的最高点和最低点的距离为．（I）求f（x）的解析式及对称中心；（II）求函数f（x）在上的最值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（I）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象上相邻的最高点和最低点的距离为．求出相邻的最高点和最低点横坐标的距离就是，可得T的值，从而求出ω．可得f（x）的解析式及对称中心；（II）x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范围．【解答】解：（I）函数f（x）=，化简可得：f（x）=sinωxcosωx﹣﹣cos2ωx+=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣）设函数f（x）的最小正周期为T，∵图象上相邻的最高点和最低点的距离为．相邻的最高点和最低点纵坐标的差为2．∴相邻的最高点和最低点横坐标的距离为=5﹣4∴T=2，即，∴ω=．则f（x）的解析式为：f（x）=sin（πx﹣）令πx﹣=kπ，k∈Z，可得：x=k．∴f（x）的对称中心为（），k∈Z；（II）x∈上时， 可得：，当πx﹣=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．当πx﹣=时，函数f（x）取得最大值为．∴函数f（x）在上的最小值为﹣1．最大值为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．　17．（12分）（2017•威海二模）设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）设单调递增的等差数列{an}的公差为d＞0，由3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项，可得=，=（a1+2d）（a1+11d），联立解得a1，d，即可得出．（II）由数列{bn}满足，n≥2时，++…+=3n﹣3，相减可得：=2×3n．当n=1时，a1=2，b1=12，上式也成立．再利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设单调递增的等差数列{an}的公差为d＞0，∵3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项，∴=，=（a1+2d）（a1+11d），联立解得a1=2=d， ∴an=2+2（n﹣1）=2n．（II）由数列{bn}满足，∴n≥2时，++…+=3n﹣3，相减可得：=2×3n．∴bn=4n×3n．当n=1时，a1=2，b1=2×（32﹣3）=12，上式也成立．∴bn=4n×3n．∴数列{bn}的前n项和Tn=4[3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n]，3Tn=4[32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1]，∴﹣2Tn=4（3+32+…+3n﹣n×3n+1）=4×，∴Tn=（2n﹣1）•3n+1+3．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　18．（12分）（2017•威海二模）如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，O为△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=，D为AP上一点，且AD=2DP．（I）求证：DO∥平面PBC；（II）求证：AC⊥平面OBD；（III）设M为PC的中点，求二面角M﹣BD﹣O的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AO交BC于E，连接PE，由重心的性质可得DO∥ PE，再由线面平行的判定可得DO∥平面PBC；（Ⅱ）由PB=PC，且E为BC中点，可得PE⊥BC，再由面面垂直的性质可得PE⊥平面ABC，结合（Ⅰ）可得DO⊥平面PBC，即DO⊥AC，又AC⊥BO，则由线面垂直的判定可得AC⊥平面DOB；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA、EB、EP两两互相垂直，且E为BC的中点，分别以EA、EB、EP所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BDM与平面DBO的法向量．由两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣BD﹣O的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AO交BC于E，连接PE，∵O为三角形ABC的中心，∴AO=2OE，又∵AD=2DP，∴DO∥PE，∵DO⊄平面PBC，PE⊂平面PBC，∴DO∥平面PBC；（Ⅱ）证明：∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，∴PE⊥平面ABC，由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面PBC，∴DO⊥AC，连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，∴AC⊥平面DOB；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA、EB、EP两两互相垂直，且E为BC的中点，∴分别以EA、EB、EP所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系，则有：A（，0，0），B（0，，0），P（0，0，），D（，0，1），C（0，﹣，0），M（0，﹣，），∴．设平面BDM的法向量， 则，令y=1，得．由（Ⅱ）知，AC⊥平面DBO，∴为平面DBO的法向量．∴cos＜＞==．∴sin＜＞=．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．　19．（12分）（2017•威海二模）5件产品中混有2件次品，现用某种仪器依次检验，找出次品．（I）求检验3次完成检验任务的概率；（II）由于正品和次品对仪器的损伤程度不同，在一次检验中，若是正品需费用100元，次品则需200元，设X是完成检验任务的费用，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）检验三次完成任务分两种情况：一是3次中检验出两个次品，二是3次检验都是正品，设“检验3次完成任务”为事件A，由此能求出检验3次完成检验任务的概率． （Ⅱ）由题意X的可能取值为300，400，500，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）检验三次完成任务分两种情况：一是3次中检验出两个次品，二是3次检验都是正品，设“检验3次完成任务”为事件A，则检验3次完成检验任务的概率：P（A）==．（Ⅱ）由题意X的可能取值为300，400，500，600，P（X=300）==，P（X=400）==，P（X=500）=+=，P（X=600）==，∴X的分布列为：X300400500600PEX=300×=500．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．　20．（13分）（2017•威海二模）已知函数f（x）=alnx﹣（a+b）x+x2（a，b∈R）．（I）若f（x）在x=1处取得极值，讨论函数f（x）的单调性；（II）当a=1时，设函数φ（x）=f（x）﹣x2有两个零点x1，x2．（i）求b的取值范围； （ii）证明：x1x2＞e2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）（i）问题转化为方程b+1=在（0，+∞）有2个不同实根，设g（x）=，（x＞0），根据函数的单调性求出b的范围即可；（ii）构造函数M（x）=g（x）﹣g（）=+，求出函数的导数，根据函数的道德底线证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣（a+b）+2x，由f（x）在x=1处取极值，得f′（1）=0，解得：b=2，故f′（x）=，a=2时，f′（x）≥0，不满足f（x）在x=1处取极值，故a≠2；①a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②0＜＜1即0＜a＜2时，0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，），（1，+∞）递增，在（，1）递减；③a＞2时，0＜x＜1或x＞时，f′（x）＞0，1＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1），（，+∞）递增，在（1，）递减；（Ⅱ）（i）a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣x2=lnx﹣（1+b）x，φ（x）有2个不相同零点x1，x2，即方程b+1=在（0，+∞）有2个不同实根，设g（x）=，（x＞0），则g′（x）=，x∈（　　），e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减， 故x=e时，g（x）max=g（e）=，∵g（1）=0，x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，故0＜b+1＜，b的范围是（﹣1，﹣1），（ii）由（i）得1＜x1＜e＜x2，构造函数M（x）=g（x）﹣g（）=+，M′（x）=，x＞e时，M′（x）＞0恒成立，故M（x）在（e，+∞）递增，∵M（e）=0，故对任意x＞e，M（x）＞0，故M（x2）=g（x2）﹣g（）＞0，即g（x2）＞g（），∵g（x1）=g（x2），∴g（x1）＞g（），又x1∈（1，e），∈（1，e），由（i）得g（x）在（0，e）递增，故x1＞，即x1x2＞e2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．　21．（14分）（2017•威海二模）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．（I）求椭圆C1的方程； （II）设椭圆C2：为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．（i）求证：直线AB的方程为x0x+2y0y=2；（ii）当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程为+．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知椭圆C2：=1，Q（x0，y0）为椭圆E上一点，=1，利用点差法求出直线AB的方程为x0x+2y0y=2，由此能求出直线AB的方程．（Ⅲ）联立直线EF与椭圆C1的方程，得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，得：，利用韦达定理求出|AB|=，点E（）、F（﹣）到直线AB的距离为d1，d2 ，﹣﹣由此能求出当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．∴e==，∴a2=2b2，∵P是椭圆C1上任意一点，∴|PF1|+|PF2|=2a，≥（）2=a2，∴2a2=8，a2=4，b2=2，∴椭圆C1的方程为+=1．（Ⅱ）（i）证明：由（Ⅰ）知椭圆C2：=1，Q（x0，y0）为椭圆E上一点，=1，当y0≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则②﹣①，整理，得：，∵Q为线段AB的中点，∴=﹣=﹣，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），∵=1，化简，得x0x+2y0y=2， 当时，直线AB的方程也满足x0x+2y0y=2，综上，直线AB的方程为x0x+2y0y=2．（ii）直线EF的方程为y0x﹣x0y=0，联立直线EF与椭圆C1的方程，解得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，消去y，得：，x1+x2=2x0，x1x2=2﹣4y02，|AB|=•=•=，设点E（）、F（﹣）到直线AB的距离分别为d1，d2，SAEBF=S△ABE+S△ABF=，==，==，∴SAEBF=•==4．故当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．【点评】 本题考查椭圆方程、两线段和的取值范围、椭圆性质、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．