华杯赛经典教案--带余除法(教师版)

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1、学生姓名年级小六授课时间教师姓名课时课题带余除法教学目标1、掌握带余除法的定义；2、掌握三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），3、重点理解和掌握中国剩余定理的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想重点掌握三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理）难点掌握中国剩余定理的相关问题【前次课提要】整数与整除：【知识点梳理】一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2

2、)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，若两个数a，b除以同一个数m得到的余

3、数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m

4、(a－b)三、中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）：作业【例题讲解】题型：带余除法的定义和性质例题：(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和．7【解析】因为是的倍还多,得到，得，所以，．例题：(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=

5、2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．例题：(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。【解析】设所得的商为，除数为．，，由，可求得，．所以，这三个数分别是，，。例题：(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组

6、，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】由，知，一组是10或11人．同理可知，知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．题型：三大余数定理的应用例题：有一个大于1的两位整数，除所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，的约数有，所以

7、这个数可能为。例题：两位自然数与除以7都余1，并且，求．【解析】能被7整除，即能被7整除．所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，7满足题目要求，【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为,，由于1351

8、1，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．，所以所求的最大整数是98．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为，，所以这样的数组共有下面4个：，，，．例题：(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元

9、、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．