—浅谈导数在数学中的应用

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1、浅谈导数在数学中的应用学生姓名：王敏指导教师：张铭泽一、引言微积分学，是人类思维的伟大成果之一，在数学领域中占据着主导地位，而微分依赖于导数，这使得导数成为初、高等教育的一种特别有效的工具。导数来源于求曲线在一点处的切线和运动物体在某时刻的瞬时速度，也就是说导数是函数的变化率，它的引入为解决数学问题提供了新视角、新方法，它的应用使得我们在处理问题时达到简单、方便、高效的目的，那么下面就应用导数这种工具来具体研究的方程、函数的性、函数、函数、曲线及拐点等问题。二、导数在数学中的应用（一）导数在求曲线的方面的

2、应用的概念是纯粹从方面来刻画变化率的本质，它反映了随的变化。比如质点作，它在任意一处速度的是沿着切的，而切在几何上的定义就是曲线的的极置。因此，的几意义就是在几何上表示曲在处的线的率，即，其中是切的。那么结合的点程可得，曲的切程为：。例1.求线在处切线的.分析：这主要是根据的几义来求出切.解：由得所以切线的斜率为故切线的切程为：即.（二）在函数的性方面的应用在中学我们常常借助的图像和的定义判断一些简单函数的性，而对于繁杂而艰难的数，我们通常以为工具对数的性进行判断。1.用一阶的符号判断性的理据（1）如果在

3、间内，总有，则在此区间是数，的区间；如果在间内，总有，则在此间是数，的间；如果函数在区间内，总有11，则为常数。（2）设在某个区间内，如果在该区间内，则在该区间内有；如果在该间内，则在该区间内有。2.利用判断性的骤①　求出函数的②　在的定义域内和③　根据(2)的结果得出函数的单调性及其例2.判断下列的性及其.（1）（2）分析：本题是利用判断函数的性、求函的单间，在解题中要注意函数的，全面讨论。对于含的注意要使用分类的思法即(2)要根据的情况判断的性.解：（1）函数的定义域为，令即解之得令即解之得故的单调为

4、，单调为.（2）当时，，其区间，区间.当时，令，则即故的增区间为,减区间为.11综上：当时，递增区间为，递减区间为；当时，递增区间为，递减区间为.（三）在函数的方面的应用1.函数的与的关系如果，并且在附近的侧，，那么是极大值，如果，并且在附近的侧，，那么是极小值。2.利用求解函数的依据函数的求得函数的函数得出的根，根据方程的的情况，连续将的定义域划分成若干个间，并制成由在方程的根的左右的符号，来判断在在这个根处取极值的情况，在判断中我们要特别注意导数等于零的点不一定是极值点，可导点一定是等于的点。例3.设

5、与是的两个.(1)试确定常数的值；(2)试判断与是的点还是值点，并说由.分析：利用点与的关系，建立由点与所确定的相关，运用待定法确定的值，再利用的定义进行.解：（1）由极值点的必要条件可知：{解方程组得｛.（2）由（1）得函数的定义域为11、随的变化情况如下表：当时，有极小值；当时，有极大值.总之，的概念是一个性念，如果一点处的比它附近的函数大（小），这一点的函就是大（小）值。（四）在函数的方面的应用在经济管理、工农业生产、工程技术和科学实验中，经常要面临最优规划、最优设计、最优决策及资源的最有利用等优化

6、。这类问题体现在上通常可为：在一定下，求某一的问题。下面我们分种情形来问题。1.闭区间上连续的（1）函数的与的关系一般地，如果在闭区间上的像是一条的曲线，那么它必有值和，如果在区间上函数的是一条连续不断的，那么她不一定存在，如果在区间上只有一个点，那么这个点必定是点。（2）求解函数的①　求在内的②　求点的函、③　比较各与、的大小，其中最的就是最，最的就是为值例4.求函数，的.分析：求数，令，然后列表的号，从而求得的值.解：令即11解之得：或（舍）当变化时，，的变化情况如下表：1当时，有值，在上，函数无值.

7、2.实际应用问题中的最值在实际应用中，经常提出并需要解决最优化问题，其中解决优化问题的基本思路：首先要材料，理意，实际把它概括成问题，利用知识相应的，使用概括性地表示出所出来的，利用知识对进行、研究，如通过使用导数的性质理论有效的解决数学问题进而得出数学结果，然后结合实际问题对所得的数学结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定问题的答案，从而解决优化问题。（1）在解决用料最省、费用最低等最小值问题中的应用例5.已知、两地200千米，一只船从地水到地，水为8千米每小时，船在中的速度为千米每小时

8、。若船每小时的与其在中的速度的平方比，当千米每小时时，每小时的为720元，为了是全程最省，的实际速度为多少呢？分析：要求使用的用最省，实际就是求的最小。解：设每小时的用为，比例为，则当时，所以得设全程为，由题意知令则11当时，可以证明是函数；是函数所以时，即时，即在上为函数当时所以当时，千米每小时时，全程的最，为32000元；当时，则时全程的用最，为元。（2）在解决利润最大、效率最高等最大值问题中的应用例6.已知某与量关系式为