2008下半年线性代数

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1、第一章行列式1、二阶行列式=三阶行列式（用对角线法来记忆）==特别2、余子式：是在中划去第i行和第j列，剩下的元素按原来相对顺序排成的n-1阶行列式代数余子式将n阶行列式按第一列展开即等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和例题参见P9例2注：将行列式按某行或某列展开时，尽量选择含零元素多的行或列使计算量减小3、行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等即转置行列式定义参见P11性质2：用数k乘行列式D的某一行（或列）的所有元素所得到行列式等于kD，即行列式可以按行和按列提出公因数如性质3：互换行列式的任意两行（

2、列），行列式值改变符号推证：如果行列式中两行（列）相同，则此行列式值为零39性质4：如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零性质5：行列式可以按行（列）拆开，即性质6：把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素，所得行列式仍为D应用证明的充要条件是k=1或k=2证明：因为4、行列式的计算两种基本方法：①把原行列式化为上三角（下三角）行列式再求值②把原行列式利用性质6在某一行（列）产生很多个“0”元素，再按包含0最多的行（列）展开39范德蒙行列式P225、克拉默法则只适用于方程个

3、数与未知量个数相同的方程组如果n个方程的一元线性方程组的系数行列式，则此方程组必有唯一解例1求解齐次线性方程组：当n元线性方程组中的常数项齐次线性方程组（1.15）的系数行列式，则它只有零解39齐次线性方程组（1.15）的系数行列式D=0，则它有非零解应用：当k为何值时只有零解解：系数行列式第一章课后习题详解§1.1P81.求出以下行列式的值（1）（2）（3）（4）（5）（6）思路同（5）39（2）习题1、22、解：将D按第三列展开3、求行列式的值39习题1.339习题1.41、见参考答案39第二章矩阵一、矩阵的定义：参见课本P33几

4、种常用的特殊方阵39二、矩阵的运算1、矩阵的相等当矩阵A与矩阵B的行数相同，列数相同，并且相同位置的元素也相同，则称A=B2、矩阵的加减法当A和B的行数与列数分别相等时，它们才能相加减，称这样的两个矩阵为同型矩阵。同型矩阵相加减：相同位置元素相加减负矩阵：A的负矩阵为-A，即矩阵A中的每一个元素取它的相反数满足的运算律：（1）A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+0=0+A(4)A+B=A+CB=C3、数乘运算：任意数k乘以任意矩阵A等于这个数乘以矩阵的每一个元素运算律：（1）（kl）A=k(lA)=klA结合律

5、（2）k(A+B)=kA+kB分配律例题参见36页4、乘法运算矩阵39但BA不能相乘运算律：结合律（AB）C=A(BC)分配律（A+B）C=AC+BC结合律k(AB)=A(kB)=(kA)B一般情况下，矩阵乘法不满足交换律即AB≠BA当AB=BA时，我们称A与B可交换，此A、B是同阶方阵如求所有与A可交换的矩阵因为A是二阶方阵所以它的可变换矩阵也是二阶方阵详解见P405、方阵的幂6、矩阵的转置：将矩阵的行与列互换得到的nm矩阵成为A的转置矩阵转置的运算律：当A为n阶方阵满足称A为对称矩阵；=-A称为A反对称矩阵7、方阵的行列式：8、方

6、阵多项式39如例20见书P46三、方阵的逆矩阵1、定义：设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使称A是可逆矩阵B叫A的逆矩阵注意：（1）可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的（2）2、如何判断一个方阵A是否可逆？方阵A是可逆矩阵3、如何求一个可逆矩阵的逆矩阵？可逆矩阵的基本性质：设A、B为同阶可逆矩阵k≠0则（1）(2)AB为可逆矩阵(3)kA为可逆矩阵（4）应用参见P51-P52设A是三阶矩阵，，求的值39四、分块矩阵定义参见P541、分块矩阵的加法把m*n矩阵做同样的分块2、数乘分块矩阵3、分块矩阵的转置4、分块矩阵的乘法参见P57应用例4

7、395、分块矩阵的求逆特殊分块矩阵求逆公式:(1)AD是任意两个可逆矩阵时有(2)五、矩阵的初等变换与初等方阵1、矩阵的初等变换定义：对一个矩阵施行一下三类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换（1）交换A的某两行（列）（2）用一个非零的数k乘A的某一行（列）（3）把A中的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上用“→”连接前后变换的矩阵若A矩阵经过若干次初等变换得到矩阵B，则称A与B等价，记做A≌B性质：（1）反身性A≌A(2)对称性A≌B则B≌A(3)传递性A≌B，B≌C,则A≌C2、初等方阵（1）定义：由单位矩阵

8、E经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵（2）三类n阶初等方阵Ⅰ交换E的第i，j两行（列），得到的初等方阵，记为39Ⅱ用非零常数k乘E第i行（列）得到的初等方阵，记为Ⅲ将E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列乘k加到第j列