[知识总结]九(上)第二章：一元二次方程

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1、北师大版九年级(上)第二章：一元二次方程1.认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为(为常数，)的整式方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。如：是分式方程，所以不是一元二次方程。②、只含有一个未知数。③、未知数的最高次数是2次。2.一元二次方程的一般形式：一般形式：()，系数中，一定不能为0，、则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：①、如果，则得，例如：；②、如果，则得，例如：；③、如果，则得，例如：；④、如果，则得，例如：。其中，叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。任何

2、一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。例题：将方程化成一元二次方程的一般形式.解：去括号，得：移项、合并同类项，得：(一般形式的等号右边一定等于0)3.一元二次方程的解法：(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：举例：解方程：解：方程两边除以9，得：6(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：，将原方程配成的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程：配方法解一元二次方程()的步骤：解：①、二次项系数化为1.(两边都除以二次项系数.)②、移项.(把常数项移到=号右边.)③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的平

3、方，把原方程化成的形式)④、求解.(用直接开方法求出方程的解.)(3)、公式法：（求根公式：）举例：解方程：公式法解一元二次方程的步骤：解：①、把一元二次方程化为一般形式：()②、确定的值.③、求出的值.④、若，则把及的值代入求根公式，求出和，若，则方程无解。(4)、分解因式法：（理论依据：，则或；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。）【1】提公因式分解因式法：举例：①、解方程：②、解方程：解：原方程可变形为：解：原方程可变形为：或或6【2】运用公式分解因式法：举例：①、解方程：②、解方程：解：原方程可变形为：解：原方程可变形为：或或【3

4、】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法)：举例：解方程：十字相乘法：1-6交叉相乘：，1+1即等于一次项系数。所以可以分解成解：原方程可变形为：或【4】其它常见类型举例：①、解方程：②、解方程：（换元法）解：原方程可变形为：解：令，原方程可化为：，即：或或，即，或，即方程无解。原方程的解为：61.一元二次方程的应用：①、数字问题.②、面积问题.(牢记有关面积的公式，熟练计算组合图形的面积、面积的转化.)③、平均增长率(或降低率)问题.其基本关系式：，其中是增长(或降低)的基础量，是平均增长(或降低)率，是增长(或降低)的次数（常考的是两年期，即，），是增长(或降低)后

5、的数量(总量)，增长为“+”，降低为“-”.④、商品利润问题(重点).基本公式：1、单件利润=单件进价2、总利润=单件利润销售量⑤、运动问题、动点问题。例题：将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？解法一：设售价定为元，依题意可得：整理得：解得：售价应定为60元或80元.当定为60元时，应进货个；当定为80元时，应进货个；解法二：设上涨元，依题意可得：整理得：解得：售价应定为10+50=60元或30+50=80元.当定为60元时，应进货个；当定为80元时，应进

6、货个；2.常考题型及其相应的知识点：(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：例1：关于的一元二次方程有一根为0，则的值为______.思路分析：有一根为0，说明有，可代入原方程求出.注意：一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数的讨论：解：将代入原方程得：即：又因为即6的值为.例2：一元二次方程的一个根为，则另一个根为_______.思路分析：先将已知的一个根代入原方程，解出未知系数，再解出此时一元二次方程的两根.解：将代入原方程得：原方程即为：(2)、判别式：，方程根的情况：判别式与一元二次方程根的情况：方程有两个不相等的实数根.方程有两个相等的实数根方程没有实数根.

7、例1：关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______.思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有.解：因为方程有实数根，即：例2：方程的根的情况是().A、只有一个实数根.B、有两个相等的实数根.C、有两个不相等的实数根.D、没有实数根思路分析：判别方程根的情况，之需要计算判别式的值与0比较.解：方程没有实数根，选择D.(2)、一元二次方程根与系数关系，韦达定理：如果是一元二次方程()的两根，根据韦达定理，则有：例1：已知一