二面角的基本求法例题及练习

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1、一、平面与平面的垂直关系1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。例1．在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。求证：。例2．，，E、F分别是AC、AD的中点。求证：。2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。二、二面角的基本求法1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角的大小；（2）平面与平面所成角的正切值。练习：过

2、正方形ABCD的顶点A作，设PA=AB=，求二面角的大小。2．三垂线法例5．是正方形，ABEF是矩形且AF=AD=，G是EF的中点，4（1）求证：；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角的大小。例6．点P在平面ABC外，是等腰直角三角形，，是正三角形，。（1）求证：；（2）求二面角的大小。练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角的大小。3．垂面法例7．，（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。4．无棱二面角的处理方法（1）找棱例8．过正方形ABCD的顶点A作，设PA=AB=，求平面PAB与平面PCD所成二面

3、角的大小。4（2）射影面积法（）例9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱的中点，求平面与平面ABCD所成二面角的大小。1、A、B是二面角M—a—N的棱a上两点，P是N内一点，PB^a与B，PA与a成45°角，PA地M成30°角，则二面角M—a—N的度数是A、30°　B、45°　C、60°　D、75°2、正四面体相邻两面所成二面角为a，则有A、cosa=1/3　B、sina=1/3　C、cosa=EQR(,3)/3　D、sina=EQR(,3)/33、已知两两垂直的三射线OA、OB、OC交平面a于A、B、C若OA=1，OB=2，OC=3，则a与平面OAB所成角的余弦值是A、2/7

4、　B、3/7　C、6/7　D、不同于A、B、C4、两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面A、相等　B、互补　C、相等或互补　D、不确定5、RtDABC斜边AB在平面a内，AC、BC与a成45°和30°的角，则平面ABC与a所成的角为_________6、以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角，连结AC，则二面角A—CD—B的大小为________7、正三棱锥的一个侧面积与底面积之比为2/3，则侧面与底面所成的二面角为________8、三棱锥P—ABC的底面ABC是以AC为斜边的RtD，且顶点P在面ABC内的射影是DABC的外心，若PA=AB=1，BC=EQR(,2)，则面P

5、AB与面ABC所成的二面角为_______9、二面角a—L—b内一点P到两个面的距离分别为EQR(,2)，EQR(,3)到棱的距离为2，求此二面角的大小410、四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB^BC且AB=EQF(1,2)CD，侧棱PB^面ABCD，PC=5，BC=3，SDPAB=6。求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小11.如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．12．过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．CD

6、PMBA13、如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小14、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。AHMD1C1B1A1BCD15、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。4