28尾数与余数问题

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1、第28讲尾数和余数学生姓名：【专题精华】在学习有关“数与代数”方面的知识时，我们常把自然数末位的数字称为自然数的尾数，除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算中是有规律可寻的，熟练地掌握并利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。【教材深化】100个47[题1]47×47×47×……×47积的尾数是几？〈敏捷思维〉若干个自然数的积的尾数，等于这若干个自然数尾数之积的尾数，100个47的连乘积的尾数等于100个7的连乘积的尾数。〈全解〉我们先列举前几个7的积，看看尾数在怎样变化，1个7的尾数就是7；7×7的尾数就是9；7×7×7的尾数

2、就是3；7×7×7×7的尾数是1；7×7×7×7×7的尾数是7……，由此可见，积的尾数以“7、9、3、1”四个数字在不断重复出现，100÷4=25，没有余数，说明100个7相乘，积的尾数是1。〈拓展探究〉一个自然数的n次方的尾数等于它的尾数的n次方的尾数，而且一个自然数的n次方的尾数是有规律可循的。[能力冲浪]2007个341、34×34×34×34×……×34积的尾数是几？67个22、自然数2×2×……×2-1的尾数是几？3、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）积的尾数是几？100个（21×26）[题2]求32006+42007+52

3、008的尾数是几？〈敏捷思维〉先分别求出32006，42007，52008的尾数是几，然后再将尾数相加，最后看和的尾数是几就行了。7〈全解〉因为3n的尾数是以“3、9、7、1”四个数字循环的，2006÷4=501……2，所以32006的尾数是9。因为4n的尾数是以“4、6”两个数字循环的，2007÷2=1003……1，所以42007的尾数是4。因为5n的尾数永远都是5，所以52008的尾数是5。又因为9+4+5=18，所以这道加法算式的尾数是8。〈拓展探究〉若干个自然数的和的尾数，等于这若干个自然数尾数之和的尾数，因此先分别求出32006，42007，

4、52008的尾数，再找出这些尾数之和的尾数就行了。[能力冲浪]1、求52000+62001+72002+82003+92004的尾数。2、求15+29+343+417+521+625+729+833+937+1041的尾数。3、求5233-3229的尾数。【生活数学】[题3]数学小博士组的学生做研究，把1991个1991相乘所得的积，你能猜想：积的末两位数字是几？〈敏捷思维〉这道题若用硬乘的方法算出它们的积来，显然是非常费力的，我们不妨，从简单入手开始研究：1991的末两位数是911991×1991的末两位数是811991×1991×1991的末两位数

5、是711991×1991×1991×1991的末两位数是611991×1991×1991×1991×1991的末两位数是51………………10个1991相乘的积的末两位数是0111个1991相乘的积的末两位数是91。算到这里，规律也很明显，上面的末两位数是按91、81、71、61、51、41、31、21、11、01不断循环出现。〈全解〉根据末两位出现的规律。因为1991÷10=199……1，所以1991个1991的末两位数是91。〈拓展探究〉无论是末位数，还是末两位数，在这样的乘法算式里，它都是按一定的规律出现的，如果找到了规律，问题也就迎刃而解了。[能

6、力冲浪]1、324个324相乘所得的积，末两位数字是多少？723个32、把23个数3、33、333……，333……3相加，所得和的末四位数字是多少？3、1！+2！+3！+……+99！的后两位数字是多少？（说明：n！=1×2×3×……×n）[题4]555……55÷13，当商是整数时，余数是几？2007个5〈敏捷思维〉可以先写几个5，除以13，找找规律看余数是否有规律地重复出现。〈全解〉5÷13余555÷13余3555÷13余95555÷13余455555÷13余6555555÷13余0我们发现，6个5相连组成的数能被13整除，余数是按5，3，7，4，6，

7、0的顺序重复出现的，因此2007÷6=344……3，余数为3，即与555÷13的余数相同是9。〈拓展探究〉有时候从复杂问题退到简单问题，找到解题的规律，可以使问题变得简单。[能力冲浪]2007个61、求666……66除以7所得的余数。7100个82、求888……88÷6所得的余数是几？3、21994除以7的余数是几？【感受奥赛】[题5]213除以一个两位数，余数是3，这个两位数可能是多少？〈敏捷思维〉213除以一个两位数，余数是3，如果213减去3，那么得到的210就是这个两位数的倍数。〈全解〉213-3=210，210÷10=21，210÷14=15

8、，210÷15=14，210÷21=10，210÷35=6，210÷30=7，210÷42=5