高中数学第三章三角恒等变换.简单的三角恒等变换导学案新人教a版必修

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1、3.2简单的三角恒等变换学习目标　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一　半角公式思考1　我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？答案　结果是cosα＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.思考2　根据上述结果，试用sinα，cosα表示sin，cos，tan.答案　∵cos2＝，∴cos＝±，同

2、理sin＝±，∴tan＝＝±.思考3　利用tanα＝和倍角公式又能得到tan与sinα，cosα怎样的关系？答案　tan＝＝＝，16tan＝＝＝.梳理sin＝±，　　　cos＝±，tan＝±＝＝.知识点二　辅助角公式思考1　asinx＋bcosx化简的步骤有哪些？答案　(1)提常数，提出得到.(2)定角度，确定一个角θ满足：cosθ＝，sinθ＝(或sinθ＝，cosθ＝).一般θ为特殊角，则得到(cosθsinx＋sinθcosx)(或(sinθsinx＋cosθcosx)).(3)化简、逆用公式得asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(或a

3、sinx＋bcosx＝cos(x－θ)).思考2　在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？答案　θ所在的象限由a和b的符号确定.梳理　辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋θ).(其中tanθ＝)类型一　应用半角公式求值16例1　已知sinθ＝，＜θ＜3π，求cos和tan.解　∵sinθ＝，且＜θ＜3π，∴cosθ＝－＝－.由cosθ＝2cos2－1，得cos2＝＝.∵＜＜，∴cos＝－＝－.tan＝＝2.反思与感悟　(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：①先化简所求

4、的式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).跟踪训练1　已知sinα＝－，且π<α<，求sin，cos和tan.解　∵sinα＝－，π<α<，∴cosα＝－.又∵π<α<，∴<<，∴sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，tan＝＝－4.类型二　三角恒等式的证明例2　求证：＝.证明　要证原式，可以证明＝.16∵左边＝＝＝＝tan2θ，右边＝＝tan2θ，∴左边＝右边，∴原式得证.反思与感悟　证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右

5、边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.跟踪训练2　证明：＝tan＋.证明　∵左边＝＝＝＝＝tan＋＝右边，∴原等式成立.类型三　利用辅助角公式研究函数性质例3　已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.16解　(1)∵f(x)＝sin(2x－)＋2sin2＝sin[2]＋1－cos＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴f(x)的最小正周期为

6、T＝＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，∴所求x的集合为{x

7、x＝kπ＋，k∈Z}.反思与感悟　(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3　已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin2x－.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得

8、最大值时x的集合.解　(1)f(x)＝·＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x16＝cos，当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值.此时x的取值集合为.类型四　三角函数在实际问题中的应用例4　如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小

9、值.解　如图连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ.所以PQ＝MB＝