华师附中圆锥曲线中的定值问题

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1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com圆锥曲线中的“定值”问题一．证明某一代数式为定值：1、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；解：设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)，直线MF的斜率为－k，直线ME方程为∴由，消解得；同理∴(定值)所以直线EF的斜率为定值▲利用消元法2、已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．证明·为定值解：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，

2、B(x2，y2)．由＝λ，即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，所以将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com所以·＝(，－2)·(x2－x

3、1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0所以·为定值，其值为0．　　▲利用不变因素3、已知椭圆分别交于点。解：设。由，而为定值。▲利用辅助元解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。二．证明动直线过定点或动点在定直线上问题4、如图,椭圆的两焦点，与短轴两端点，构成为,面积为的菱形。（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点(、不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆右顶点．求证:直线过定点,并求出该定点的坐标．解：椭圆的方程为（2）由第9页

4、共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com，即设M，则有因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以，而代入并整得，化简整理得到均满足判别式大于0，所以当当三．探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值5、已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解：(1)因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离。所以,点M的轨迹是以F为焦点,为准线的抛物线,且,所以所求的轨迹方程

5、为(2)假设存在A,B在上,所以,直线AB的方程:,第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com即即AB的方程为:,即即:，令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)作业：1．已知点是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，且满足．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设是椭圆上两点，直线的倾斜角互补，试判断直线的斜率是否为定值？并说明理由．解：（1）椭圆方程为，离心率；（2）不妨设，，由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与椭圆方程联立并消去得（※），又在椭圆上，所以1是方程（※）的一个根，

6、方程可化为，所以第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com．又直线的倾斜角互补，可设直线的方程为，同理可得，所以，又，，所以．因此．2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证为定值．解：（1）设椭圆C的方程为：，抛物线方程化为，其焦点为，椭圆C的一个顶点为，即，由，得，∴椭圆C的方程为：．（2）由（1）得，设，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，并整理得：，∴．又

7、，，由，，得，，∴，∴3、已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5题（I）证明:为定值；（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.解：（I）设点、M、A三点共线，(II)设∠POM=α，则由此可得tanα=1又(Ⅲ)设点、B、Q三点共线，，即即由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）4、已知定点H（－3，0）