第三节 子集与集合的分划

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1、高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)贾广素编写第三节子集与子集的分划一个集合可以写成若干个集合的并集，这是对集合分类讨论的常用方法.对于一个较为复杂的集合,我们在研究其性质时,往往可以划分成若干个小集合的并集进行研究,通过对这些小集合的性质的研究,可以达到化整为零、化繁为易的效果.集合的分划反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视.本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法.【基础知识】一．集合的分划1.

2、集合分划的概念：把一个集合M分成若干个非空子集：如果满足（1）；（2），那么称这些子集的全体为集合M的一个n－分划，其中每一个子集叫做集合M的一个类.2．加法原理由集合分划的定义，容易证明有限的一个非常有用的性质：设是有限集n－分划，则，这是一个基本的计数公式，被称为加法原理.3．最小数原理（极端原理）最小数原理I:设M是正整数集的一个非空子集，则M中必有最小数.最小数原理II:设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最小数.推论：设M是实数集的一个有限非空子集，则M中必有最大数.二．子集族1．子集族的概念我们可以将某些

3、集合取来作为元素构成一个新的集合，例如就是含4个元素的集合，特别地，将集合M的若干个子集作为元素构成的集合叫做原集合的一个子集族.如上例中的就是二元集的全部子集构成的子集族.子集族中所含原来集合的子集的数目叫做该子集族的阶.例如子集族的阶为4，即2．C族最简单的子集族是由有限集M的全体子集所构成的子集族，简称为C族.3．C族的性质设，则集合M的全体子集所构成的集合的阶为即47高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)贾广素编写4．R族设是A的一个子集族，若存在使得：(1)M中任意个都相交；(2)M中任意个都不相交.则称M

4、为A的一个指数为的R族.定理：如果是A的一个指数为的R族，，则5．K族设A为一个阶集合，是A的一个子集族.若M中任何两个A的子集和互不包含，即且，则称M为集合A的一个K族.定理：设M为阶集合A的K族中阶数最高者，则上述两个定理的证明有一定的麻烦程度，我们将其放在习题中，请读者自己完成其证明过程.本讲的内容没有因定的方法，难度也较大，有些问题甚至就是一些数学专业论文中的一些结果或著名的定理，初学者若感到较为困难，可以耐心地多看几遍，多做几遍本讲中的例题与习题就会有所收获.【典例精析】【例1】（第43届美国中学数学竞赛）设S为集

5、合的子集，并且S中任意两个元素之和不能被7整除，那么S中元素最多有多少个？〖分析〗对于两个不同的自然数，不被7整除也就是被7除的余数不为0.我们将集合按照其中元素被7除所得的余数相同与否进行归类，余数相同的组成一个集合，这样可得到7个子集.然后从这7个子集中适当地抽取满足题意的元素组成集合S即可.【解法一】将集合中的元素按被7除所得的余数相同分为7个子集，即：；；；；；；.可知S最多包含的一个元素，而如果S包含其它任何一个子集中一个元素时，则它可以包含这个子集中的所有元素；另外，S不有同时包含中的元素；同样，S不能同时包含和

6、中的元素.故S中的元素最多有1+8+7+7=23个.47高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)贾广素编写【解法二】将按照模7分成7类：；；；；；；.下面证明为满足要求的元素最多的集合.首先对有3种可能：（1），则，则不能被7整除；（2），则，则不能被7整除；（3），则，则不能被7整除.综上知，S中任何两个元素之和不能被7整除.其次证明，若S中添加1个元素，则必存在S中的一个元素与的和能被7整除.添加的有4种可能：（1），则与中的元素之和能被7整除；（2），则与中的元素之和能被7整除；（3），则与中的元素之和能被7整除

7、；（4），则与7的和能被7整除.综上知，S中的元素不能再添加.所以S中元素数目的最大值为：〖说明〗本题实际上是集合的划分问题，从以上的解答过程可以看出，利用余数构造集合的划分是解决本题的关键，也是解决集合问题的一种常用的手段.解法二中，首先按模7的剩余类对集合中的元素进行分类的想法是自然的.后面的解答中又进行了两次分类，但是这两个分类的理由已经蕴涵中最初的分类之中了.【例2】对于一个由非负整数组成的集合S，定义为满足条件的有序对的对数：且问：是否能将非负整数集分划为两个集合A和B，使得对任意，均有47高中数学新课标奥林匹克竞

8、赛辅导讲义(高一部分)贾广素编写〖分析〗整数有多种表示形式，其中二进制表示的每位数字只有0和1这两种选择.由于是将S分划为两个集合A、B，对每个因定的，满足的非负整数对是有限的，用二进制来讨论在A和B中的分配情况似乎较有利.【解】存在上述分划.将所有二进制下数码1出现偶数个的非负整数归入集