集合的分划与子集族(打印).doc

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1、集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分例1、将集合分为个互不相交的子集使得：（1）每个都含有个元素；（2）每个中各元素之和都相同。例2、对一个由非负整数组成的集合，定义是满足下述条件的有序对的对数：且，问能否将非负整数集分划为两个集合和,使得对任意均有例3、设集合，求最小的正整数，使得对的任意一个分划，一定存在某个集合，在中由两个元素，满足例4、证明：可以把自然数集分划为个非空子集，使得对任何个满足关系式的自然数，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合和是集合的两个分划，已知对任意两个

2、交集为空集的集合，均有，求证：例6、设自然数分划成个互不相交的子集：，求证其中必有某个子集，它具有如下性质：存在使对任何正整数，都能找到，满足例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集，满足条件：（1）；（2）中没有两个不同的元素，使它们的和形如；（3）中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含个点分属这个集合；（2）下任何一条直线

3、上都不可能有个点分属这个集合例9、设,对的任一非空子集，当中任意两数之和不属于时，称为自由集，如果且均为自由集，那么称有序对为为的一个划分，试求的所有划分的个数二、族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数例12、设正整数，各不同的正整数有下列性质：对集合的任何两个不同的非空子集和，中所有数的和与中所有数的和都不会相等，在上述

4、条件下，求的最大值三、求解子集族例13、已知集合，求集合的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于例14、对于正整数，如果存在集合的子集族满足（1）；（2）若，则；（3）任意，，则称是“和谐数”证明：（1）是和谐数；（2）除外，其余的都是和谐数例15、集合，试作出的三元子集族，满足：（1）的任一二元子集至少被族中的一个三元子集包含；（2）四、有关子集族的最值问题例16、集合，是的一族非空子集，当时，至多有两个元素，求的最大值例17、设满足：对任何整数及中的任意数（可以相同），均不

5、是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的例18、设，对的任意一个元子集，若存在，使得且，则称为好集，求最大自然数，使得任一含有的元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合，可以分为个互不相交的三元组，其中，则满足上述要求的两个最小的正整数2、设是一个有个元素的集合，选取的两个子集（可以相同），使得它们的并集是，选取的顺序无关紧要，如与表示同一种取法，这样的取法有种3、设集合，求证：在或中含有三个元素，使得4、已知集合是的子集，且中任一两个元素之和均不能被整除，求集合中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数，都能找到一个最小

6、的整数，使在集合分成组的任何分划中，都存在整数，使数含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、，是的分划，即，并且两两的交集都是空集，如果中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求8、（1）证明：正整数集可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若，且或，则属于不同的集合（2）证明：正整数集可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若，且或，则属于不同的集合，并说明此时将表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数使得

7、集合可以分成个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设为正整数，是与之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将拆分为两个不相交的子集，使得？11、给定正整数，求具有下列性质的正整数的最小值：把集合任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有个数（不要求它们互不相同）：，使得12、正整数具有下列性质：把集合任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数（允许），使得，求这样的的最小值13、设为个正实数组成的集合，对的每个非空子集，令为中所有元素之和，求证：集合可以拆分成个互不相交的子集，每个

8、子集中的最大数与最小数之差为14、试求所有正整数，使集合可以分解为两个互不相交的子集，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合，其中为非零复数（可视为平面上非零向量）．求证：可以把中元素分成若干子集，使得（1）中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任