长方体与正方体（二）

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1、年级五年级学科奥数版本通用版课程标题长方体与正方体（二）编稿老师张任峰一校林卉二校黄楠审核张舒在长方体、正方体问题中，我们常常会遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占一部分的体积。一、解答此类体积问题，必须掌握以下几点：1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原物体体积的和；3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。二、解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长

2、方体、正方体的特征，熟悉计算方法，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。例1有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，此时水面高多少厘米？分析与解：由于后来两个水箱里水面的高度一样，可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积前后是不变的，等于（甲水箱的底面积＋乙水箱的底面积）×水面的高度。这样只要先求出

3、原来甲水箱中水的体积：40×32×20＝25600（立方厘米），再除以两个水箱的底面积之和：40×32＋30×24＝2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度：25600÷2000＝12.8（厘米）。例2有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？第4页版权所有不得复制分析与解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中碎石的体积。沉入中、小水池中的碎石的体积分

4、别是：3×3×0.04＝0.36（立方米），2×2×0.11＝0.44（立方米），它们的体积和是：0.36＋0.44＝0.8（立方米）。把它们都沉入大水池里，大水池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米，而大水池的底面积是4×4＝16（平方米），所以大水池的水面将升高：0.8÷16＝0.05（米）＝5（厘米）。例3下图是正方体的11种展开图和2种伪装图（即它们不是正方体的展开图）。请你指出伪装图是哪两个？分析与解：无论哪一个图中都有六个小正方形，都好像有道理，但当我们把相邻的两边逐一拼合后，不能拼成正方体的是（10

5、）和（12），这两个图形都有五个面，故在拼合时不成问题，但最后一个面总是挤在外面而成不了正方体。本题还可以通过在各个小正方形中分别标出“上下左右前后”，想象是否能拼接成正方形。例4有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原长方体的体积。分析与解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面

6、积所增加的数值，因此根据题意有：190＋2a2＝240，可知a2＝25。又因为2a2＋4ah＝190，解得（厘米），所以原长方体的体积为：V＝a2h＝25×7＝175（立方厘米）。第4页版权所有不得复制例5在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方体容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长为15厘米的长方体铁棍。这时容器里的水半米深，现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的铁棍被浸湿的部分长多少厘米？分析与解：露出水面的铁棍被浸湿的部分不只是24厘米，不仅要考虑拔出的24厘米，还得考虑水面下降的高度。方法一

7、：水的体积为（602－152）×50＝168750（立方厘米）；将铁棍提起后，铁棍下方水的体积为602×24＝86400（立方厘米），所以此时水浸湿铁棍部分的长为（168750－86400）÷（602－152）＝24.4（厘米），此时露出水面的铁棍被浸湿的部分长50－24.4＝25.6（厘米）。方法二：被浸湿的露出水面的铁棍部分的水的体积与将铁棍提起后铁棍下方的水的体积相等，所以有602×24÷（602－152）＝25.6（厘米）。（答题时间：60分钟）1.有一个长方体容器，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的

8、水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？2.有一个正方体容器，边长25厘米，里面注满了水。有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？3.下图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长之和是多少？4.在长4分米、宽3分米、高2分米的盛有15升水的长方体容器中，放入一