学年论文(浅述线性方程组及其求解方法).doc

《学年论文(浅述线性方程组及其求解方法).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、学年论文信息与计算科学1102班xx11080602xx浅述线性方程组及其求解方法摘要：线性方程组理论是线性代数理论的起源之一，但也是线性代数理论绝好的应用。线性方程组理论也是线性代数理论与其他学科联系的重要桥梁。关键词：线性方程组；初等列变换。1、基本概念。（1）线性方程组中的未知数的系数构成的矩阵A=称为系数矩阵称为常数项，A=（AB）称为增广矩阵。在数学中，线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：其中的以及等等是已知的常数，而等等则是要求的未知数。如果用线性代数中的概念来表达，则线性方程组可以写成：，这里的A 是m×n 矩阵，x 是含有n 个元素列向

2、量，b 是含有m 个元素列向量。这是线性方程组的另一种记录方法。在已知矩阵  和向量  的情况求得未知向量  是线性代数的基本问题之一。以下是一个由两个方程构成的线性方程组：方程组中有两个未知数。用线性代数中的表示方法，这个方程组可以记录为：列子如这个线性方程组有一组解：。可以直接验证：可以证明，这组解也是方程组唯一的解。不是所有的线性方程组都有解。以下是一个没有解的例子：显然，如果有 和满足了第一行的式子的话，它们的和等于2。而第二行则要求它们的和等于0.5，这不可能。也有的线性方程组有不止一组解。例如：是一组解，而也是一组解。事实上，解的个数有无限个。（2

3、）上述线性方程组也可以表示为矩阵形式（3）上述线性方程组还可以表示为向量形式：线性方程组的问题就是问题是否存在，若存在，是什么样？（4）上述线性方程组还可以理解为由系数矩阵A确定了一个P到的一个线性映射，解存在否即B是否在此映射的像中，若在，B的原像是什么？（5）若B0，称上述线性方程组为非齐次线性方程组，B=0，则称为齐次线性方程组。（6）AX=0称为非齐次线性方程组AX=B的导出组。2、解存在的条件。（1）线性方程组ＡＸ=Ｂ有解当且仅当Ｂ可被线性表示，当且仅当Ｒ（ＡＢ）＝Ｒ（Ａ）。（2）齐次线性方程组有非零解当且仅当线性相关，当且仅当Ｒ（Ａ）＜ｎ。3、解的

4、结构。（1）齐次线性方程组AX=0的所有解为为的一个n-R(A)维子空间，其基（sn-R(A)）称为方程组的基础解系，方程组的基础解系，方程组的通解为X=（2）非齐次线性方程组AX=B的解若存在，则所有解S=为在中的一个陪集，这里是AX=B的任一解（称为特解），为导出组AX=0的解。若（sn-R(A)）为导出组的基础解系，则AX=B的通解为X=4、解法。（1）一般解法。注意到，若P是m阶可逆矩阵，则AX=B与PAX=PB的解相同。判断AX=B是否有解与AX=B求解的过程可统一。（i）对增广矩阵进行行变换：（AB）-（）为阶梯矩阵；（ii）确定方程组是否有解，有

5、解选定的列的极大线性无关部分组，也就是选定自由未知量；（iii）确定齐次方程组的基础解系（令一个自由未知量为1，其余为0，再求出非自由未知量的值，可得基础解中的一个解），非齐次线性方程组的特解（自由未知量均为0，求出非自由未知量的值，就是一个特解）；并给出通解。（2）Cramer法则。线性方程组AX=B中m=n，A可逆，令d=detA,是将A的第i列换成B所得矩阵的行列式。则解为5、线性方程组及其求解方法的实际应用（1）齐次线性方程组及其求解方法的实际应用i)齐次线性方程组的一般形式为它的矩阵形式为其中，显然，是齐次方程组的解，称为零解.我们关心的是除了零解还

6、有没有其他的解？确切地说是要研究齐次线性方程组在什么条件下有非零解？有非零解时，如何求解？ii)齐次方程组解的判定Ø当时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是;Ø齐次线性方程组有非零解的充要条件是A的列向量组线性相关.Ø定理齐次线性方程组（4-1）有非零解的充要条件是；齐次线性方程组只有零解的充要条件是iii)齐次方程组的解空间Ø若、为齐次线性方程组AX=0的解，则+也是AX=0的解。Ø若为齐次线性方程组AX=0的解，k为实数，则k也是AX=0的解。iiii)齐次方程组的基础解系定义称为齐次线性方程组AX=0的基础解系，如果是ＡＸ＝０的一组线性无关的解；ＡＸ＝０

7、的任一解都可由线性表示。当向量组，是ＡＸ＝０的一组基础解系时，它的线性组合就称为其次线性方程组ＡＸ＝０的一般解或通解（其中为任意常数），即齐次线性方程组的无穷多组解可用基础解系的有限组解表示出来。由此可见，求解齐次线性方程组的关键就是要求其基础解系，下面我们介绍基础解系的一种求法，并得到一些有用的结论。设系数矩阵Ａ的秩为r，并不妨设Ａ的前r个列向量线性无关，于是Ａ的行最简形为　　　　　　　　　　　　　　　　与Ｉ对应的齐次线性方程组为（４－２）由于Ａ与Ｉ的行向量组等价，故方程组（4-1）与（４－２）同解，称为方程组（４－２）的自由未知量。任给一组值，则唯一确定的

8、值，令为以下n-r组数：则从而得到下面