线性方程组的几种求解方法

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1、线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得第二步：将(2)(1)除以2/3，使x2系数化为1，得再将(3)(1)式中x2系数化为零，即由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x3系数化为1，得经消

2、元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得x3=1,将x3代入(2)(2)得x2=-2,将x2、x3代入(1)(1)得x2=1所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步：先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1）将某行同乘或同除一个非零实数（1）将某行加入到另一行（2）将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令aij(1)=aij,（i,j

3、=1,2,3,…,n）bi(1)=bi,（i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若akk(k)≠0，进行lik=aik(k)/akk(k),（i=k+1,k+2,…,n）aij(k+1)=aij(k)-lik*akj(k),（i,j=k+1,k+2,…,n）bi(k+1)=bi(k)-lik*bk(k),（i=k+1,k+2,…,n）2．回代若ann(n)≠0xn=bn(n)/ann(n)xi=(bi(i)–sgm(aij(i)*xj)/-aii(i),（i=n-1,n-2,…,1）,(j=i+1,i+2,…,n)（五）高斯消元法的条件消元过程要求aii(i)≠0(i=

4、1,2,…,n),回代过程则进一步要求ann(n)≠0,但就方程组Ax=b讲，aii(i)是否等于0时无法事先看出来的。注意A的顺序主子式Di（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(aii(i)≠0,i

5、主子式不为0。（六）选主消元因为在高斯消元的过程中，要做乘法和除法运算，因此会产生误差。当

6、akk(k)

7、<<1，此时用它作除数。会导致其他元素数量级严重增加，带来误差扩散，使结果严重失真。例如：0.00001x1+x2=1.000012x1+x2=3解：代入得到x1=0,x2=1。显然，严重失真换主元，将两行交换，如下，代入得到x1=1,x2=1,答案正确。总结：在消元的过程中，如果出现主元相差比较大的情况，应选择如下图方框中的最大数作为主元。甚至可以在整个矩阵中找最大数作为主元，但此时需要做列变换，要记住个分量的顺序。（六）解的判断设方程组的增广矩阵记为，则经过初等行变换可化

8、为如下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序)：其中cii¹0(i=1，2，…，r)．于是可知：(1).当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解．(2).当dr+1=0，且r

9、且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U为主对角线以下的元素均为零。所以有，LUx=b令Ux=y则Ly=b由A=LU,由矩阵的乘法公式：a1j=u1j,j=1,2,…,nai1=li1u11,i=1,2,…,n推出u1j=a1j,j=1,2,…,nli1=ai1/u11,i=1,2,…,n这样就定出了U的第一行元素和L的第一列元素。设已定出了U的前k-1行和L的前k-1列，现在确定U的第k行和L的第k列。由矩阵乘法：当r>k时，lkr=0,且lkk=1，因为所以，同理可推出计算L的第