线性方程组求解的数值方法

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1、1第二章线性方程组求解的数值方法第二章线性方程组求解的数值方法1.高斯消元法2.矩阵分解法3.向量范数与矩阵范数4.迭代法求解5.方程组的病态问题与误差分析主要内容：第二章线性方程组求解的数值方法理解各种线性方程组数值求解；掌握求解方法和解的误差分析方法；能编程实现求解算法。特别强调：遇到问题养成用计算机编程求解的习惯，不要习惯性的用笔算，而这是国内外学生的一个主要差距。教学要求：在自然科学和工程技术中，有很多问题的解决都需要用到线性方程组的求解。因此，求解线性方程组的问题是一个在科学技术中常见的普遍问题。解

2、线性方程组的数值解法：有直接法和迭代法两类。直接法：计算过程没有舍入误差，经过有限次四则运算可求得方程组得精确解。（实际计算有舍入误差）高斯消元法，矩阵分解法迭代法：核心是迭代求解的收敛条件和收敛速度。雅可比（Jacobi）迭代，高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代基本思想方法：由行初等变换将系数矩阵约化为三角矩阵；用回代的方法求解方程组。例1用消去法（高斯消元法）解方程组高斯消元法是求解方程组的古典方法。(2.1)§3.1高斯消元法结论：整个计算过程可分为两部分：（1）消元：把原方程组转化为系数矩阵

3、为上三角矩阵的方程组；（2）回代：由系数矩阵为上三角矩阵的方程组求解（2）回代求解，得：解：（1）消元：对于一般情形：n阶线性方程组的高斯消元法若记增广矩阵（2.2）（1）第1步(k=1)，一般形式的高斯消元法：设，首先对行计算乘数对增广矩阵进行行初等变换：(即用乘以2.2式的第1个方程，加到第i个方程上，消去2.2式的第二个方程直到第n个方程中的未知数)(代表第i行)得到与原方程组等价的方程组。记为（2）一般第k步消元()设已完成上述消元过程第1步，第2步，…，第k-1步，且其中：设，计算乘数(即用乘以2.

4、2式的第k个方程，加到第i个方程上，消去2.2式的第k+1个方程直到第n个方程中的未知数)那么第k步消元操作即：(3)继续这一过程，直到完成第n-1次消元，最后我们得到与原方程组等价的三角形方程组(2.3)消元过程结束求解三角形方程组2.3，得到求解公式这个过程称为回代过程。例题：考虑方程组Gauss消去法中每步用来消去其他元素的称为该步的主元素。Gauss消去法作为数值方法，主元素的选择是否会影响计算的结果呢？则该方程的精确解为而采用(，1)作为主元素，利用高斯消去法得到的解为显然结果是错误的。错误在哪个地

5、方呢？原因是我们在消元时，利用了小主元，使得约化后的方程组元素数量级大大增长，再经舍入，而计算机的有效位数有限，造成消元后的三角形方程组就不准确了。结论：在消元过程中可能出现主元素为零的情况，这时消去法将无法进行；即使不为零，在主元素很小时，用其做除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠。解决方法：对一般的矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵（或消元后的低阶矩阵）的该列中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数字稳定性。(高斯列主元素消去法)1.列主元法第一列中

6、绝对值最大是10，取10为主元n阶方程组第k轮消元时，选第k列的后(n-k+1)个元素中绝对值最大作主元。x3=6.2/6.2=1x2=(2.5-5x3)/2.5=-1x1=(7+7x2-0x3)/10=0x1=0x2=-1x3=1第二列的后两个数中选出主元2.52完全主元素消去法整个矩阵中绝对值最大是10，取10为主元n阶方程组第k轮消元时，选消元后元素中绝对值最大作主元。x1=0x2=-1x3=1方框中6最大，交换行列，交换列的时候要做记录（即x3和x2交换了位置）：完全主元素消除法与列主元素消除法的优缺

7、点比较：优点：数值更加稳定；缺点：计算量大；对矩阵A实行初等行变换相当于用初等矩阵左乘A，于是对(2.2)做第一次消元后，化为化为，即，其中§3.1矩阵的三角分解LU分解第k步的初等矩阵为并且重复这一过程，最后得到将上三角矩阵记为U，则将上三角矩阵记为U，则，其中则，L为单位下三角矩阵。高斯消去法实质上是产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解。如果A是非奇异阵，则LU分解是唯一的，否则分解不唯一。消元法：消元法与三角分解法间的关系：三角分解法：讨论直接三角分解法解线性方程组（）的具体流程：1.2.计

8、算U的第r行，L的第r列元素r=2,3,…,n3.(一)LU分解再求解Ly=b,Ux=y计算公式：(二)x的计算例用直接三角分解法解方程组解:(一)矩阵LU分解(1)故：(2)经计算：(二)求解x：从而§3.2矩阵的Cholesky分解对称正定矩阵A：AT=A,A的各阶顺序主子式大于零.前面指出非奇异的矩阵可以有三角分解，当A是某些特殊矩阵时，它的LU分解会有更加简洁的形式。A的LU分解(2.4)u