线性方程组求解的数值方法.ppt

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1、Ch3线性方程组求解的数值方法NumericalSolutionsofSystemsofLinearEquations§3.0Introduction线性方程组工程问题（电子网络，船体放样等）自然科学（实验数据的最小二乘法曲线拟合）解非线性方程组解常/偏微分方程组（差分法，有限元法）3.0Introduction线性方程组的系数矩阵：（1）低价稠密矩阵（阶数<150）；（2）大型稀疏矩阵（阶数高且零元素较多）。求解线性方程组的方法：（1）直接法:经过有限步算术运算，求得精确解（假设计算过程没有舍入误

2、差）。如Gauss消去法，三角分解法。（2）间接法(迭代法)：通过迭代序列，逐步逼近方程组的解。如Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法。3.0Introduction【最简单的情形】三角形线性方程组：简记为，A为上三角矩阵。若所有aii0，可用“回代”过程得到方程组的解。functionX=backsub(U,b)%解上三角方程组--回代过程%BacksubstitutioninGausselimination%Input--Uisanxnupper-trianglularmatri

3、x%--bisanx1constantvctor%Output--XisthesolutionvectorofUX=b%Usage:X=backsub(U,b)%FindthedimensionofbandinitializeXn=length(b);X=zeros(n,1);X(n)=b(n)/U(n,n);forp=n-1:-1:1X(p)=(b(p)-U(p,p+1:n)*X(p+1:n))/U(p,p);endBacksub.m3.0Introduction3.0Introduction【作

4、业】（1）编写Matlab程序解下列上三角形方程组：（2）编写Matlab程序解下列下三角形方程组：§3.1Gauss消去法与LU分解法直接法的基本思想：将线性方程组化成与之等价的上三角形或下三角形，再用回代法求解。它的核心是矩阵分解。核心：矩阵分解。Gauss消去法（Gaussianelimination）：（对方程组的三种变换）（1）交换两个方程的次序；（2）用一个非零常数乘一个方程；（3）将一个方程的非零倍数加到另一个方程上去。这等价与对增广矩阵进行三种行初等变换，将它化为行阶梯形。【例3.1

5、】解下列线性方程组：解：用行初等变换将方程组的增广矩阵化为行阶梯形：解得x=(0,-1,1)’.§3.1GaussianEliminationandLUDecomposition【注】上述过程可用矩阵表示为：LU=PA其中§3.1GaussianEliminationandLUDecomposition【高斯消元法思路】(1)用消元法将A化为上三角阵upper-triangularmatrix;(2)回代求解backwardsubstitution。§3.1GaussianEliminationan

6、dLUDecomposition§3.1GaussianEliminationandLUDecomposition消元记Step1：设，计算因子将增广矩阵/*augmentedmatrix*/第i行mi1第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n1回代Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andinterchangethek-throwwiththei-throw

7、.Whatifwecan’tfindsuchk?Nouniquesolutionexists.定理若A的所有顺序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要A非奇异，即A1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。§3.1GaussianEliminationandLUDecomposition高斯消元法的矩阵表达----矩阵分解课本P40-42§3.

8、1GaussianEliminationandLUDecomposition3.1.2矩阵的LU分解（LUDecomposition）若在Gauss消去法过程中，没有进行交换行的变换，即P=I,则分解结果为§3.1GaussianEliminationandLUDecomposition这样的分解式称为矩阵的LU分解。【Matlab】>>[L,U,P]=lu(A)其中【作业】P.67题1,23.1.3选主元消去法/*PivotingStrategies*/例：单精度解