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《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案 新人教b选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角．4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理．1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)直线的方向向量．给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，这时点P的位置被t的值完全________，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且________向量a的一条________，向量a称为该直线的___
2、_____．一条直线有无数个方向向量．(2)空间直线的向量参数方程．点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t为一个任意实数，以A为起点作向量＝ta.①对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝＋ta.②如果在l上取＝a，则②式可化为＝＋t＝＋t(－)，即＝(1－t)＋t.③以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．(3)线段AB的中点M的向量表达式设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则＝__________.【做一做1】若A(－1,0,1)
3、，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)空间三点P，A，B满足＝m＋n，且m＋n＝1，则P，A，B三点共线．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合⇔__________.(2)直线与平面平行已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使_
4、_________．(3)平面与平面平行已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α与β重合⇔__________.【做一做2】l1的方向向量v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝__________.3．用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ__________；(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，直线l1与l2的夹角为θ，则l1⊥l2⇔__________，cosθ＝____
5、______.【做一做3】设直线l1和l2的方向向量夹角为120°，则l1和l2这两条直线所成的角为__________．8两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两直线所成的角．4．法向量的概念已知平面α，如果向量n的________与平面α________，则向量n叫做平面α的法向量，或说向量n与平面α正交．【做一做4】若n＝(2,2,1)是平面α的一个法向量，下列向量中能作平面α的法向量的是( )A．B．(2,3,1)C．D．(2
6、,2,2)5．平面的向量表示式设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件·n＝0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的________，________通常称为一个平面的向量表示式．【做一做5】n为空间任一非零向量，若·n＝0，·n＝0，则向量A，M，B，N四点是否在同一平面内？6．利用法向量判断平面与平面的平行与垂直设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到平面α∥平面β或α与β重合⇔n1______n2；平面α⊥平面β⇔________⇔________.【做一做6】平面α，β的法向量
7、分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α，β的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断(1)用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量方法证明平行或垂直问题的步骤：①建立空间图形与空间向量之间的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建立)．②通过向量运算研究垂直关系问题．③根据运算结果解释相关问题．7．三垂线定理及三垂线定理的逆定理三垂线定理：如果在______的一条直线
8、与平面的一条斜线在这个平面内的______垂直，则它也和这条______垂直．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条______垂直，则它也和这条斜线在平面内的______垂直．定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题．【做一做7】斜线b在平面α内的射影为c且直线a⊥c，则a与b__________垂直．(填”一
