2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B版选修2_1.doc

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1、3．2.2　平面的法向量与平面的向量表示　1.了解空间向量在立体几何中应用的广泛性．　2.理解平面的法向量的概念及平面的向量表示．　3．掌握利用平面的法向量证明平行、垂直问题(包括三垂线定理及其逆定理)．1．平面的法向量的概念如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量，或说向量n与平面α正交．2．平面向量的表示式A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则·n＝0表示通过空间内一点A并且与一个向量n的平面．[注意]　(1)满足·n＝0的点M的轨迹是一个与向量n垂直的平面.·n＝0通常称为一个平面的向量表示式．(2

2、)若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.3．射影的概念已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，以下简称射影．由上述定义可知，平面α内的任一点在α内的射影都是它自身．图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．4．斜线的相关概念如果一条直线AB和平面α相交于点B，但不和α垂直，那么直线AB叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点B叫做斜足，斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB.

3、5．三垂线定理及其逆定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直；反之，如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．1．在空间直角坐标系中，平面xOz的一个法向量是(　　)A．(1，0，0)　　　　　　B．(0，1，0)14C．(0，0，1)D．(0，1，1)答案：B2．平面α，β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，b＝(1，0，2)，则平面α，β的位置关系是(　　)A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断解析：选B．因为a·b＝4＋0－4＝0，所

4、以α⊥β.3．斜线b在平面α内的射影为c且直线a⊥c，则a与b________垂直.(填“一定”或“不一定”)解析：因为a不一定在平面α内，所以a与b不一定垂直．答案：不一定　求平面的法向量　如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．【解】　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1，0，

5、0)，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)．设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则14即所以令y＝－1，则x＝z＝.所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．若要求出一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤为：(1)设出平面法向量n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；　(3)根据法向量定义建立关于x，y，z的方程组：(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．　　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)

6、，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，试求出平面ABC的一个法向量．解：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，因为A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)，由题设得：即，解之得，取y＝1，则x＝2.故平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，0)．　利用法向量证明垂直或平行问题　正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.【证明】　如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，14则E、D1(0，0，

7、1)、F，A(1，0，0)，A1(1，0，1)．所以＝(1，0，0)，＝，＝，＝(1，0，0)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，由⇒令y1＝1，得m＝(0，1，－2)．又由⇒令z2＝1，得n＝(0，2，1)．因为m·n＝(0，1，－2)·(0，2，1)＝0，所以m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理．　　在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2

8、AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F.证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，