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《2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学案新人.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示【学习目标】1.理解平血的法向量的概念，会求平血的法向量.2.会用平血的法向量证明平血与平面平行、垂直.3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题.H问题导学知识点一平面的法向量思考平面的法向量有何作用？是否唯一？梳理平面的法向量已知平面Q,如果,则向量刀叫做平面Q的法向量或说向量力与平面a正交.知识点二平而的向量表示设畀是空间任一点，刀为空间内任一非零向量，则适合条件的点於的集合构成的图形是过空间内一点/I并且与27垂直的平面.这个式子称为一个平面的向量表示式.知识点三两平面平行或垂直的判定及三垂线定理1.
2、两平面平行或垂直的判定方法设加，比分别是平面0的法向量，则容易得到aHB或。与B重合0；Q丄0O02.三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.题型探究类型一求平面的法向量例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面個⑦为矩形，必丄平面肋力，疋为勿的中点.AB=AP=,AD=並试建立恰当的空间直角坐标系，求平^ACE的一个法向量.引申探究若本例条件不变，试求直线刖的一个方向向量和平面户m的一个法向量.反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为力=(丸，戶力・(2)选向量：在平面内选
3、取两个不共线向量乔，AC.n・AB=0,(3)列方程组：由］_列出方程组.n■AC=On•AB=Q,(4)解方程组：一n•AC=O.(5)赋非零值：収其中一个为非零值(常取±1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1如图，在四棱锥—月磁中，底面月救是矩形.平面丹〃丄平面MQ,'PAB是边氏为1的正三角形，初〃是菱形.ZABCKY,F是/乞的中点，F是肋的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平而化尸的法向量.类型二利用空I'可向量证明平行问题例2已知正方体ABCD-ABGD的棱长为2,E,F分别是朋，仞的屮点，求证:(1)兀〃平面ADE；(2)平
4、面ADE//平而SGF：反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之I'可的关系证明平行问题.跟踪训练2如图，在四棱锥―力做中，必丄平面ABCD,刖与底面所成的角为45°,底面血29为直角梯形，ZABC=ZBAD=90°,PA=BC=》D=,问在棱刃上是否存在一点圧使必〃平m/W若存在,请说明理由.类型三三垂线定理及应用例3在正方体ABCD~ABGD'',0为底面必⑦的中心，£为％的中点.求证：仞丄平而AM反思与感悟利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法，其基本环节有三个.跟踪
5、训练3如图，已知刖丄平面個7,且。为△肋C的垂心，求证：ABA.PC.当堂训练1.若直线1//且/的方向向量为（2,m,1）,平面。的法向量为（1，寺2）则刃为（）A.-4B.-6C.-8D.82.若两个不同平面J0的法向量分别为〃=(1,2,-1),r=(-3,一6,3),则()A.a〃0B・a丄0C.a,0相交但不垂直D.以上均不正确1.若a=(l,2,3)是平面丫的一个法向量，则下列向量中能作为平面Y的法向量的是()A.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(-1,-2,3)D.(3,6,8)2.已知平面a的法向量是(2,3,—1),平面0的法向量是(4
6、,久，一2),若。〃0,则久的值是()10A.——B.6C._6D.~3.在正方体ABCD-入B.CA中，平面/⑵的一个法向量为.r-规律与方法,1.用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果.2.利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理屮的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果.提醒：完成作业第三章3.2.2答案精析问题导学知识点一思考平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面
7、与平面的位置关系.平面的法向量不唯一，它们都是共线的.梳理向量应的基线与平而。垂直知识点二AM•刀=0知识点三1.n//n>题型探究力：丄屁m•n2=0例1解因为M丄平面/仇"底而血/C刀为矩形,所以個AD.〃两两垂直.如图，以/I为坐标原点，励勺方向为”轴的正方向，建立空间直角坐标系,则0（0,羽,o）,£（0,平，*）,〃（i,o,o）,rd,o）,于是~AE=（0,平，*）,AC=（1,书，0）.设n=(%,y,z)为平面应芒的法向量,n・弭C'=0,n・旋=0,令尸一1,则X=z=£・所以平^ACE的一个法向量为/}=(£,-1,y[3).引屮探
8、究解如图所示，建立空间直角坐标系,/xC则p(o,o
