2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示应用案巩固提升新人教B版选修2_1.doc

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1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示[A　基础达标]1．若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是(　　)A．　　　　　B．(2，－1，0)C．(1，2，0)D．答案：C2．直线l的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m＝(－1，1，3)，n＝，则直线l与平面β的位置关系是(　　)A．l∥β　　　　　　　　B．l⊥βC．l∥β或l⊂βD．无法判断解析：选C．因为m·n＝－＋0＋＝0，所以m⊥n.所以l∥β或l⊂β.3．已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为(　　)A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1)

2、D．(－1，1，－1)解析：选C．显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以n＝(－2，1，1)．4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法向量可以是(　　)A．B．7C．D．解析：选D．因为A1A⊥BD，AC⊥BD，A1A∩AC＝A，所以BD⊥平面A1ACC1，所以为平面A1ACC1的一个法向量．5.在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是(　　)A．B．(1，，1)C．(1，1，1)D．(2，－2，1)解析：选A．因为

3、AC＝CB＝1，PC＝2，所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，2)，＝(－1，0，2)，＝(0，－1，2)．又(－1，0，2)·＝－1×1＋0×1＋2×＝0，(0，－1，2)·＝0×1＋(－1)×1＋2×＝0，所以向量是平面PAB的法向量．6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．解析：因为α∥β，所以u1∥u2.所以＝＝，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－37．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，则与平面A1D1F的关系为________．解

4、析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，7则A(1，0，0)，E(1，1，)，D1(0，0，1)，F(0，，0)，A1(1，0，1)．＝(0，1，)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．所以·＝(0，1，)·(0，，－1)＝－＝0，·＝0，所以⊥，⊥.又A1D1∩D1F＝D1，所以⊥平面A1D1F.答案：垂直8．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×

5、(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，则AB⊥AP.·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，则AP⊥AD.又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．答案：①②③9.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点，证明：AE⊥平面PBC.7证明：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设D(0，a，0)，则B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E.于是＝，＝(0，a，0)，＝(，a，－)，则·＝0，·＝0.所以AE⊥BC，AE⊥PC.又因为BC∩PC＝C，所以

6、AE⊥平面PBC.10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1.证明：以D为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A1(1，0，1)、B(1，1，0)、D1(0，0，1)、B1(1，1，1)、C(0，1，0)、D(0，0，0)，所以＝(－1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(1，1，0)，＝(0，1，－1)，设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则⇒.7令z＝1，得x＝－1，y＝1.所以平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1，1，1)．设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(a，b，c)

7、，则⇒，令b＝1，得a＝－1，c＝1，所以n2＝(－1，1，1)，所以n1＝n2，即n1∥n2，所以平面A1BD∥平面CD1B1.[B　能力提升]11．平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定解析：选C．因为(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，所以α⊥β.12．向量a＝(－1，2，－