非线性动力学导论讲义(分岔理论)

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1、非线性动力学导论讲义(分岔理论)非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。其动力学方程为：其中M代表质量，l表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。对时间进行尺度变换定义（或直接假设）及d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面

2、。我们也可以假设，从———————————————————————————————————————————————而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d&g

3、t;0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。这意味着稳定流形与不稳———————————————————————————————————————————————定流形将有如下图

4、所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。单摆没有穿越倒立位置。单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。人们称解在此临界值处出现分岔。分岔现象是非线性系统特有的一种非常重要的性质。1.分岔和结构稳定性

5、以范德玻（VanderPol）方程为例来讨论分岔现象。VanderPol方程是最简单而又具有典型意义的由范德玻在研究电子管振荡和模拟人的心脏搏动的基础上提出的，该方程的解代表一种典型的非正弦形式的振荡。———————————————————————————————————————————————????x?(x?1)??x?0x?1?x2?x?22?x???x??(1?x)x112?222?分岔的概念??f(x,?)x如果参量在其某一值邻近微小变化将引起解（运动）的性质（或相空间轨线的拓扑性质）发生突变，此现象即称为分岔（或分

6、叉、分歧、分支），此临界值称为分岔值。不引起分岔的点称为常点。?结构稳定性结构稳定性（structuralstability）表示在参量微小变化时，解不会发生拓扑性质变化（解的轨线仍维持在原轨线的领域内且变化趋势也相同）。反之，在分岔点附近，参量值的微小变化足以引起解发生本质（拓扑性质）变化，则称这样的解是结构不稳定的。结构不稳定意味出现分岔。从本质上分析，失稳是发生分岔的物理前提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌理论的研究对象。分岔是非线性领域的重要理论。主要研

7、究内容包括分岔点位置，分解方向与数目；分岔解的稳定性；分岔类型和分岔过程与终态的奇异吸引子等等。例：一水平细棒（竹、木或钢的），右端固定，从左端加一水平方向力F，考虑棒的形状如何变化。这是Euler在1744年研究的一个问题，F———————————————————————————————————————————————它是一个最简单的分岔现象。分析：当F较小时，棒虽受压，但仍能维持水平位置而无形变。继续加大F，当F达到某一临界值时，棒将突然弯曲。设棒只能在竖直面内运动，则它既可能向上弯曲，也可能向下弯曲。若用棒的中点偏离原水

8、平位置的距离x标志棒的形变，则棒的形状在F的临界值处发生了突变，平衡点也由原来的一个变为三个。FP特别有意思的是，Euler杆向哪一边弯曲是一不确定问题，其中包含有随机因素的作用，甚至取决于初始扰动和涨落。双星裂变双星裂变理论是由Newton最早在关于地球形状的研究中撰写的工