非线性动力学和混沌理论

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1、非线性动力学和混沌理论非线性动力学 　　随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。 　　非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。 非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。事实上，这不是三个孤立的方面。混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。 　　经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。然而，不同的分支之间又不

2、是完全孤立的。非线性动力学问题的解析解是很难求出的。因此，直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。混沌理论是谁提出的？ 　　混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。 　　美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。 　　美国气象学家洛伦茨在2O世纪 6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖

3、性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。 　　1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。 　　1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。 　　1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。 　　与此同时，曼德尔布罗特

4、用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象。作为一门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成一个完整的成熟理论。混沌的理论   　　要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的，水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。这使我们产生某种数学的“横

5、向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。  　　假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来， 通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时 间间隔落下。很难找到比这更可预言的东西了。但假如你缓缓打 开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。只要做几次实验就会成功。实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断的水流，你需要的是中速滴流。如果你调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。１９７８年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青

6、的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。他们开始考虑水滴系统的时候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。他们用话筒记录水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。他们所发现的是短期的可预言性。要是我告诉你３个相继水滴的滴落时刻，你会预言下一滴水何时落下。例如，假如水滴之间最近３个间隔是 ０.６３秒、１.１７秒和０.４４秒，则你可以肯定下一滴水将在０.８２秒后落下这些数只是为了便于说明问题。事实上，如果你精确地知道头３滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初

7、始状态。我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量，对大约１０位或１２位小数来说是正确的。 　　但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度即无限多位小数，当然那是办不到的时才正确。 　　在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问题，但一般认为，只要作出初始测量，比如小数点后１０位，所有相继的预言也将精确到小数点后１０位。误差既不消失，也不放大。 　　不幸的是，误差确实放大，这使我们不能把一系列短期预言串在一起，得到一个长期有效的预言。例如，假设我知道精确到小数点后１０位的头３滴水的滴落时刻，那么我可以精确到小数点后９ 位预言下一滴的滴落

8、时刻，再下一滴精确到８位，以此类推。 　　误差在每一步将近放大１０倍，于是我对进一步的小数位丧失信心。所以，向未来走１０步，我对下一滴水的滴落时刻就一无所知了。精确的位数可能不同：它可能使每６滴水失去１位小