强非线性动力学系统的若干分岔与混沌问题研究

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1、博士学位论文强非线性动力系统的若干分岔与混沌问题研究RESEARCHONSOMEPROBLEMSOFBIFURCATIONANDCHAOSOFSTRONGLYNONLINEARDYNAMICALSYSTEMS刘延彬哈尔滨工业大学2011年6月国内图书分类号：O0347学校代码：10213国际图书分类号：534.2密级：公开工学博士学位论文强非线性动力学系统的若干分岔与混沌问题研究博士研究生：刘延彬导师：陈予恕教授申请学位：工学博士学科：一般力学与力学基础所在单位：航天学院答辩日期：2011年6月授予学位单位：哈

2、尔滨工业大学ClassifiedIndex:O0347U.D.C:534.2DissertationfortheDoctoralDegreeinEngineeringRESEARCHONSOMEPROBLEMSOFBIFURCATIONANDCHAOSOFSTRONGLYNONLINEARDYNAMICALSYSTEMSCandidate：LiuYanbinSupervisor：Prof.ChenYushuAcademicDegreeAppliedfor：DoctorofEngineeringSpecialit

3、y：GeneralandFundamentalMechanicsAffiliation：SchoolofAstronauticsDateofDefence：June,2011Degree-Conferring-Institution：HarbinInstituteofTechnology摘要摘要非线性动力学是研究非线性动力系统的运动模式和演化过程的科学，是现代科学技术的重要理论基础。经过100多年的发展，非线性动力学在弱非线性动力系统的研究方面已经取得大量的成果，发现了许多非线性现象，提出并发展了基于弱非线性动

4、力系统的基本理论方法，但是面对在理论和应用研究中遇到的强非线性动力系统分岔与混沌的解析分析问题仍然缺乏有效的系统的分析策略和手段。因此强非线性动力系统的研究已成为当务之急。基于这一背景，本文针对强非线性的分岔与混沌展开了深入的研究，且在以下三个方面取得了若干创新成果。1强非线性非自治动力系统的局部分岔理论及应用摆脱了小参数对KBM法与平均法的限制。传统的求解非自治系统的KBM法与平均法依赖于小参数，适用于弱非线性系统；近年来提出同伦分析方法计算相对较繁琐，而尚未涉及对强非线性非自治系统的求解。本文基于同伦分析方

5、法将处理弱非线性问题的非自治系统的KBM法及平均法推广到强非线性动力系统中。渐近解是强非线性动力系统的一种近似解析解，很难得到渐近解的一般表达形式，本文阐述了各阶渐近解分岔是非线性动力系统分岔的充分条件，可以采用低阶渐近解，甚至是一阶渐近解来研究强非线性动力系统分岔的问题。采用基于同伦分析的非自治系统的平均法分析一类无理式系统的主共振及研究基于三维连续体模型的输电线舞动，说明了该方法在处理强非线性动力系统局部分岔问题中的有效性。2强非线性系统的MELNIKOV方法及其应用摆脱了小参数对传统Melnikov方法的

6、限制。由于传统的Melnikov方法依赖于小参数，本文基于同伦分析法将平面Melnikov方法及两自由度Melnikov方法推广到强非线性动力系统中。且采用推广的两种方法分别研究了单自由度强非线性Duffing方程的全局分岔和在汽流激振作用下汽轮机转子的全局分岔，取得了很好的效果。由于高次系统的周期轨道及同宿（异宿）轨道不能表示成椭圆函数或者双曲函数形式，致使高余维的高次非线性动力系统的全局分岔分析成为难点。为了解决该问题，本文采用Melnikov函数近似展开式研究了一类5次系统的全局拓扑结构，得到了系统的全局

7、拓扑图。-I-摘要3中心型耗散系统的Arnold舌头构造及混沌判别采用渐近解析解构造Arnold舌头曲线，解决了中心型耗散系统的混沌判据问题。传统的作为混沌判据的Melniov函数等方法均是针对具有同宿轨道（异宿轨道）的系统，对于中心型系统的混沌一直没有解析方法作为判据。针对该问题，本文提出了采用近似解析法求出强非线性动力系统共振的幅频曲线，然后根据幅频曲线方程有实数解的条件构造出解析的Arnold舌头曲线思想，根据Arnold舌头是否有重叠来判断出现混沌的可能性。本文应用该思想研究了三类典型系统的Arnold

8、舌头叠加区域内的系统运动模式，研究结果表明：当非线性系统的参数处于Arnold舌头叠加区域的时候会出现几种情况：1)多个共振解共存；2)混沌解与共振解共存3)单一的混沌解，即Arnold舌头叠加区域是系统产生混沌的必要条件。关键词：局部分岔；全局分岔；混沌；Arnold舌头-II-AbstractAbstractNonlineardynamicsisasubjectoftheinves