锥度量空间中映射的新的公共不动点定理

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1、锥度量空间中的公共不动点定理摘要：本文研究了锥度量空间中的公共不动点的存在性和唯一性，此结论证明并推广了近来的相关结论.关键词：锥度量空间；映射；公共不动点NewcommonfixedpointtheoremsformapsonconemetricspacesAbstract:Inthispaper,westudytheuniquenessandexistenceofacommonfixedpointforapairofmappingsinconemetricspace.Theresultsextendandimproverecentr

2、elatedresults.Keywords:Conemetricspace;Mapping;Commonfixedpoint1.介绍和预备知识设是拓扑向量空间，且为非空闭集，称是一个锥,如果，.称“”为诱导的一个偏序关系，如果满足：；；；用表示－，用表示但，表示-，∅(表示的内部).赋范空间中的锥P称为正规的，如果存在常数使得当时(,),满足上式的最小正整数称为的正规常数.锥是实体，如果∅.在本文中，假设是拓扑向量空间，代表零元素，锥是实体的，“”为P诱导的一个偏序关系.定义1.1设是一个非空集合，映射：满足：(d1)，对任意，和，当

3、且仅当；(d2)，，对任意，；(d3)，，z+z，对任意，，z；则称为上得一个锥度量，，称为一个锥度量空间.定义1.2设，是一个锥度量空间，我们称为：柯西列，如果对任意的，存在正整数，使得当，﹥时，有，；收敛于，如果对任意的，存在正整数，使得当﹥时，有，；称是完备的锥度量空间，如果中每一个Cauchy列都是收敛的.引理1.1设，是一个锥度量空间，是实Banach空间，锥是实体的，是中的序列，则有(a)收敛于，，当且仅当，；(b)是柯西列，当且仅当，，.引理1.2设，是一个锥度量空间，锥是实体的，是中的序列，如果收敛于且收敛于，则.证明：

4、设,都是的极限，对，，由序列极限定义，存在，使得对所有>,，且,，从而,,+,.给定，对任何>0，有，从而,，即对任何>0，－,由于是闭的，当时，，故令，得到,.所以,=，即.定义1.3设和是集合中的自映射，如果存在使得==，则称为和的公共点.定义1.4锥度量空间中的两个自映射和是弱相容的，如果和在处可以交换，即如果存在使得，则有=.称为和的交换点，若=；称为和的公共不动点，若.2.主要结果在这部分，给出在锥度量空间下定义的映射的一些公共不动点定理.定理2.1.设，是一个锥度量空间，常数且，设映射，：满足条件：对所有的，.2.1对，，如

5、果，且是完备子空间，则和在中有唯一的公共点.然而，如果和是弱相容的，则和有唯一的公共不动点.证明：取，因为，所以存在，使得，依次归纳，得到一个序列使得=0，1，2，3，….因此，由2.1，对于正整数，我们有同理有因此所以在这里，，因为，则，从而，所以.因此，对正整数和，我们有因为，所以，又是定值，①如果，则即为和公共点；②如果，则有，所以对正整数，，故由引理1.1得为柯西列，所以由的完备性得收敛到某点，即，所以存在使得，因此，由2.1，我们有=1，2，3，…2.2因此，让且有，所以，即，又，所以，所以，即，所以由锥的定义得，因此即.综上

6、，我们知道和有公共点，下面证明它们的公共点唯一，假设存在另一个点使得，因此由2.1，我们有又因为，所以即所以和有唯一的公共点.下面证明和有唯一的公共不动点：因为和是弱相容的，且由上知，所以有，下证，若不然，设，则由2.1可得由此可知，而，故，因此，矛盾，从而，即有，所以是和的公共不动点.设是和的另一个公共不动点，则所以，即，又，所以，所以，即，所以由锥的定义得，因此即.所以和有唯一的公共不动点.推论2.1设，是一个完备的锥度量空间，且，设映射：满足条件：对所有的，.2.3对，，存在唯一的不动点，对，利用逐次迭代得收敛到.证明：在定理2.

7、1中令，结合其证明过程，即得此推论.定理2.2.设，是一个锥度量空间，映射，：满足条件：，对所有的，.2.4其中，如果，且是完备子空间，则和在中有唯一的公共点。然而，如果和是弱相容的，则和有唯一的公共不动点.证明：取，因为，所以存在，使得，依次归纳，得到一个序列使得=0，1，2，3，….由2.2易得2.5在这里，，且，所以因此，由2.3得由定理2.1的证明知，为柯西列，所以存在，使得，且有.所以知和有公共点，下面证明它们的公共点唯一，假设存在另一个点使得.因此由2.2，我们分以下四种情况：情况1.如果则.因此，由，知即情况2.如果则因此

8、，即情况3.如果则因此，即情况4.如果则因此，所以由，知即综上，我们知道和有唯一的公共点.下面证明和有唯一的公共不动点：因为和是弱相容的，且由上知，所以有，下证，若不然，设，因为，所以，则由2.4可得，矛盾