p-凸度量空间中一类非线性映射的不动点

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1、2006年10月四川大学学报(自然科学版)Oct.2006第43卷第5期JonrnalofsichuanUniversity(Natura1ScienceEdition)Vol.43No.5文章编号:0490一6756(2006)05一0972一06只凸度量空间中一类非线性映射的不动点田有先，沈世云(重庆邮电大学计算机学院，重庆400065)，摘要:介绍了尸一凸度量空间和新一类广义拟压缩映射的概念，证明了Ishikawa型迭代序列收敛于新一类广义拟压缩映射的唯一不动点，从而推广和统一了近期的一些相应结果.关键词:尸一凸度量空间;新一类广义拟压缩映射;Is

2、hikawa迭代序列;不动点中图分类号:0177.91文献标识码:A引言1974年，Ishikawa〔‘]为构造李卜希兹伪压缩映射的不动点首先定义了如下新的迭代序列:牙XO任X，头一“一助xn+风Tx一tx二+1=(1一a。)x二+a二肠摊，其中”妻0，x是Hilbert空间的紧凸子集，T:x一x是LIPschite伪压缩映射.在}a。}蒸。和}风}蒸。满足适当假设下，Ishikawa证明了序列{x二}蒸。强收敛于T的不动点.同年，ciriclz〕推广了Banach压缩原理，在完备度量空间证明了如下的不动点定理:定理[z1设(E，d)是一完备度量空间，T

3、:E一E是一拟压缩映象，即存在常数q任〔0，1)，使得对一切x，y任E，d(Tx，乃)镇qmaxld(x，刃，d(x，Tx)，d(x，乃)，d(y，Tx)，d(y，肠)}，则T在E中有不动点，而且对任给的xo任E，Picard迭代序列巨，￡。}收敛于该不动点x份.1976年和1983年，Rhoades〔3〕和NalmPallyr-singh〔4〕提出了下面的公开间题:Ishikawa迭代序列能否推广到度量空间中的非线性拟压缩映象?这一间题在HIlbert、Banach空间和凸度量空间的框架下实际上已被肯定地解决(见uu[5·6]，xu[7]，Di飞[8〕

4、，下an[9，‘01，Tian和zhang〔川，Rhoades[‘2]).另外，1996年，K掀a等〔‘3〕在度量空间介绍了，距离的概念:定义1.1称度量P为，距离，如果(i)P(x，2)成P(x，y)十P(y，2)，Vx，y，2任E;(ii)Vx呀E，P(x，·)，E一「0，co)下半连续;(111)V。>0，日占>0，由P(2，x)簇占和P(x，y)簇占，就可推出d(x，刃成。.由定义1.1知，度是量d是，距离，但其逆不成立，因为对于度量d，定义1.1中的(1)和(11)显然是成立的，对(ii1)，V。>0，取占=。忍，则其d(2，x)簇占，d(2，

5、刃镇占，就有d(x，y)镇d(2，刃成占+占=。.故度量d是，距离.Kada等人给出，距离的概念后，还证明了如下不动点定理:定理1.1[’3〕设E是一个完备的度量空间，p是一个，距离，T:E、E是一个映射，若存在:任〔0，1)使得对每个x任E，有P(Tx，护x)镇rP(x，Tx)和iof}p(x，刃+p(x，Tx):x任E}>0(y半马)，则T有唯一的不动点.此外若v二Tv，则P(v，v)=0，收稿日期:2005一03一08基金项目:重庆市科委科研项目(e引甩005B日)061)作者简介:田有先(1948一)，男，教授，主要研究方向为不动点理论第5期田有

6、先:尸一凸度量空问一类非线性映射不动点973在本文中，我们利用，距离推广凸度量空间到P-凸度量空间，并在P-凸度量空间内引人关于P的新一类广义拟压缩映射和Ishikawa迭代序列，证明Ishikawa型迭代序列收敛于关于P的新一类广义拟压缩映射的唯一不动点，这个结果推广和统一了文【5一12]的相应结果.2主要结果定义2.1设(E，d)是一度量空间，映射W:ExExl~E被称为E上的P-凸结构，如果对每个(x，y挤)eExExl和u任E，有}，(u，w(x，补‘))成“，(u，‘)+(‘一“川“，，)，(1)}p(w(x，y，久)，u)簇久p(x，u)+(

7、1一入)p(y，u)具有只凸结构w的度量空间称为只凸度量空间，记为(E，d，P，w).设E是P-凸度量空间(二为其P-凸结构)，K是E之一子集.称K为P-凸的，如果w(x，y，劝任K，V(x，夕，入)eKxKxl.因为度量d是，距离，如果P=d则凸度量空间是P-凸度量空间，其，距离为d.定义2.2设E是P-凸度量空间，lx二}是E中的序列.则}x二}称为收敛的，如果存在一点xeE，使得V。>0，存在一正整数n。，当n)n。时，有川x。，x)<。，记为x二一x(n一co)或hmx:二x.序列}x。}称为E中。川Chy列，如果V。>0，存在正整数n。，当n，

8、m》n。时，有p(xm，x力<。.(E，d，P，w)称为完备的P-凸度量空间，如