2010高考数学最后30天冲刺练习：解析几何

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1、2010高考数学最后30天冲刺练习：解析几何例1、如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求HQ.【解】（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴NA=NM.……2分又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.……………5分∴曲线E的方程为………………6分（2）直线的斜率∴直线的方程为…………………………8分由………………10分设，12分例2、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心

2、率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．【解】（1）设椭圆C的方程为，-20-抛物线方程化为，其焦点为，椭圆C的一个顶点为，即，…………………………………………3分由，得，∴椭圆C的方程为．……………………………………………………6分（2）由（1）得，…………………………………………………………7分设，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，并整理得，………………………………………9分∴．………………………………………10分又，，由，，得，，∴，………………………………………………12分∴．…………

3、……14分例3、在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；（2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明文由.-20-【解】（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x1，y1）是方程x2+y2=4的圆上的任意一点，则则有：得，轨迹C的方程为（1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.所以设直线l的方程为

4、y=k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为由由△=即…即，∴四边形OANB为平行四边形假设存在矩形OANB，则，即，即，于是有得…设，即点N在直线上.∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为例4、设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点-20-的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．Ay

5、xOBGFF1图4【解析】（1）由得，当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。例5、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、

6、两点，证明直线与直线-20-的交点在直线上．【解析】（1）设椭圆方程为将、、代入椭圆E的方程，得解得.∴椭圆的方程（4分）（2），设边上的高为当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为（10分）（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．得．设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得．直线的方程为：，它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为．下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：，-20-因此结论成立．综上可知．直线与直线的交点住直线上．（16分）法二：直线的方程为：由直线的方

7、程为：，即由直线与直线的方程消去，得∴直线与直线的交点在直线上．例6、设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求证AB=；（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求AB+CD的最小值。解：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…3分-20-（Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k=tan，焦点F(3,0)，则直线AB的方程为y=k(x–3)有(1+2k2)x2–12k2x+18(k2–1)=0设点A(x1,y1),B(x2,y