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时间:2019-06-02
《2010高考数学最后30天冲刺练习:导数》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2010高考数学最后30天冲刺练习:导数例1、函数的值域是_____________.思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。解答过程:由得,,即函数的定义域为.,又,当时,,函数在上是增函数,而,的值域是.例2、已知函数若在是增函数,求实数的范围。解析:≥0在上恒成立在上恒成立而在上的最小值为16,故。例3、已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导,且其导函数[f/(x)]/<0,则y=f(x)的图象可能是下图中
2、的()Oxy④Oxy③A.①②B.①③C.②③D.③④Oxy②Oxy①C解析:由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上递减,即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减,不难看出图象②③满足这一要求。例4、f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a<b,则必有()A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)解析:xf/(x)+f(x)≤0[xf(x)]/≤0函数F(x)=xf(x)在(0,+∞)上为常函数或递减,又03、有:af(a)≥bf(b)≥0①②高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com4、我们负责传递知识!①②两式相乘得:af(b)≤bf(a),故选A。例5、已知函数在处有极值10,则解析:,∴=①②由①②得:或当时,,此时函数无极值,舍去;当时,函数在处左减右增,有极小值;此时∴18。例6、函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.故选A.例7、若曲线的一条切线与直线垂直,则5、的方程为()A.B.C.D.[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.故选A.例8、过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为()A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]解法1:设切线的方程为又故选A.解法2:由解法1知切点坐标为由高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com6、我们负责传递7、知识!故选A.例9、已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且.(1)证明;(2)若z=a+2b,求z的取值范围。解析:函数的导数.(Ⅰ)由函数在处取得极大值,在处取得极小值,知是的两个根.所以;当时,为增函数,,由,得.(Ⅱ)在题设下,等价于 即.化简得.此不等式组表示的区域为平面上三条直线:所围成的的内部,由“线性规划”的知识容易求得:的取值范围为.例10、设函数在及时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.解析:(Ⅰ),由,.解得,.(Ⅱ)在[0,3]上恒成立即,高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com8、我们负责传递知9、识!由(Ⅰ)可知,,.当时,;当时,;当时,.即在0,1]上递增,[1,2]上递减,[2,3]上递增;∴当时,取得极大值,又.故当时,的最大值为.于是有:,解得 或,因此的取值范围为。例8、已知定义在正实数集上的函数,,其中.设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同.用表示,并求的最大值;解析:设与在公共点处的切线相同.,,由题意,.即由得:,或(舍去).即有.令,则.于是当,即时,;当,即时,.故在为增函数,在为减函数,∴在的最大值为.例11、已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+.∞)上是增函数;(2)求函数10、f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.【解】(1)当时,,当,,高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com11、我们负责传递知识!故函数在上是增函数.………………………………………………4分(2),当,.若,在上非负(仅当,x=1时,),故函数在上是增函数,此时. …6分若,当时,;当时,,此时是减函数;当时,,此时是增函数.故.若,在上非正(仅当,x=e时,),故函数在上是减函数,此时.…………………………………8分综上可知,当时,的最小值为1,相应的x值为1;
3、有:af(a)≥bf(b)≥0①②高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com
4、我们负责传递知识!①②两式相乘得:af(b)≤bf(a),故选A。例5、已知函数在处有极值10,则解析:,∴=①②由①②得:或当时,,此时函数无极值,舍去;当时,函数在处左减右增,有极小值;此时∴18。例6、函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.故选A.例7、若曲线的一条切线与直线垂直,则
5、的方程为()A.B.C.D.[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.故选A.例8、过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为()A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]解法1:设切线的方程为又故选A.解法2:由解法1知切点坐标为由高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com
6、我们负责传递
7、知识!故选A.例9、已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且.(1)证明;(2)若z=a+2b,求z的取值范围。解析:函数的导数.(Ⅰ)由函数在处取得极大值,在处取得极小值,知是的两个根.所以;当时,为增函数,,由,得.(Ⅱ)在题设下,等价于 即.化简得.此不等式组表示的区域为平面上三条直线:所围成的的内部,由“线性规划”的知识容易求得:的取值范围为.例10、设函数在及时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.解析:(Ⅰ),由,.解得,.(Ⅱ)在[0,3]上恒成立即,高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com
8、我们负责传递知
9、识!由(Ⅰ)可知,,.当时,;当时,;当时,.即在0,1]上递增,[1,2]上递减,[2,3]上递增;∴当时,取得极大值,又.故当时,的最大值为.于是有:,解得 或,因此的取值范围为。例8、已知定义在正实数集上的函数,,其中.设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同.用表示,并求的最大值;解析:设与在公共点处的切线相同.,,由题意,.即由得:,或(舍去).即有.令,则.于是当,即时,;当,即时,.故在为增函数,在为减函数,∴在的最大值为.例11、已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+.∞)上是增函数;(2)求函数
10、f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.【解】(1)当时,,当,,高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com
11、我们负责传递知识!故函数在上是增函数.………………………………………………4分(2),当,.若,在上非负(仅当,x=1时,),故函数在上是增函数,此时. …6分若,当时,;当时,,此时是减函数;当时,,此时是增函数.故.若,在上非正(仅当,x=e时,),故函数在上是减函数,此时.…………………………………8分综上可知,当时,的最小值为1,相应的x值为1;
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