2010高考数学最后30天冲刺练习：导数

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1、2010高考数学最后30天冲刺练习：导数例1、函数的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程：由得，，即函数的定义域为.，又，当时，，函数在上是增函数，而，的值域是.例2、已知函数若在是增函数，求实数的范围。解析：≥0在上恒成立在上恒成立而在上的最小值为16，故。例3、已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数[f/(x)]/<0，则y=f(x)的图象可能是下图中

2、的（）Oxy④Oxy③A．①②B．①③C．②③D．③④Oxy②Oxy①C解析：由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。例4、f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有（）A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)解析：xf/(x)+f(x)≤0[xf(x)]/≤0函数F(x)=xf(x)在（0，+∞）上为常函数或递减，又0

3、有：af(a)≥bf(b)≥0①②高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com

4、我们负责传递知识！①②两式相乘得：af(b)≤bf(a)，故选A。例5、已知函数在处有极值10,则解析：，∴=①②由①②得：或当时，，此时函数无极值，舍去；当时，函数在处左减右增，有极小值；此时∴18。例6、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）A．1个B．2个C．3个D．4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.故选A.例7、若曲线的一条切线与直线垂直，则

5、的方程为（）A．B．C．D．[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.故选A.例8、过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为()A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]解法1：设切线的方程为又故选A.解法2:由解法1知切点坐标为由高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com

6、我们负责传递

7、知识！故选A.例9、已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。解析：函数的导数．（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以；当时，为增函数，，由，得．（Ⅱ）在题设下，等价于　即．化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：所围成的的内部，由“线性规划”的知识容易求得：的取值范围为．例10、设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．解析：（Ⅰ），由，．解得，．（Ⅱ）在[0，3]上恒成立即，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com

8、我们负责传递知

9、识！由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．即在0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当时，取得极大值，又．故当时，的最大值为．于是有：，解得　或，因此的取值范围为。例8、已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．用表示，并求的最大值；解析：设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，∴在的最大值为．例11、已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数

10、f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.【解】（1）当时，，当，，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com

11、我们负责传递知识！故函数在上是增函数．………………………………………………4分（2），当，．若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　…6分若，当时，；当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．故．若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．…………………………………8分综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；