2018专题复习(九)-函数与几何图形综合探究题篇

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1、专题复习(九)　函数与几何图形综合探究题　　如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；【思路点拨】　已知对称轴，可设顶点式y＝a(x－)2＋k，然后将点B，C的坐标代入，解方程组即可得到抛物线的解析式．(一题多解)【自主解答】　解法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－)2＋k(a≠0)．∵抛物线经过点B(2，0)，C(0，4)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－2(x－)2＋，即y＝－2x2＋2x＋4.解法二：∵抛物线

2、的对称轴为直线x＝，A，B两点关于直线x＝对称且B(2，0)，∴A(－1，0)．∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)．∵抛物线经过点C(0，4)，∴－2a＝4，解得a＝－2.∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)(x－2)，即y＝－2x2＋2x＋4.解法三：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵抛物线的对称轴为直线x＝且经过点B(2，0)，C(0，4)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4.,二次函数的解析式的确定：1．确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式

3、有三个待定系数a，b，c(a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件：(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)已知抛物线与x轴的两个交点(或横坐标x1，x2)时，选用交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．用待定系数法求二次函数解析式的步骤：(1)设二次函数的解析式；(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；(3)解方

4、程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．　(2)若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；图1【思路点拨】　先设点P的坐标，再利用割补法将四边形COBP的面积表示成几个容易计算的图形面积的和差，然后根据二次函数的性质求最值．(一题多解)【自主解答】　解法一：如图1，连接BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E.设直线BC的解析式为y＝dx＋t(d≠0)．∵直线经过点B(2，0)，C(0，4)，∴解得∴直线BC的解析式为y＝－2x＋4.∵P为第一象限内抛物线上一点，设P点坐

5、标为(n，－2n2＋2n＋4)(0

6、－2n2＋2n＋4

7、－

8、－2n＋4

9、＝－2n2＋2n＋4＋2n－4＝－2n2＋4n.∵S△BPC＝S△BPE＋S△CPE＝PE·BF＋PE·OF＝PE·(BF＋OF)＝PE·OB＝－2n2＋4n.∴S＝S△BPC＋S△OCB＝－2n2＋4n＋4＝－2(n－1)2＋6.∴当n＝1时，S最大＝6.图2解法二：①当点P位于点C下方时，如图2，过点P作PE⊥y轴于E.∵P为第一象限内抛物线上一点，设P点坐标为(n，－2n2＋2

10、n＋4)，则E点坐标为(0，－2n2＋2n＋4)，∴PE＝n，CE＝4＋2n2－2n－4＝2n2－2n.∵S△PEC＝n(2n2－2n)＝n3－n2，S四边形OBPE＝(n＋2)(－2n2＋2n＋4)＝－n3－n2＋4n＋4，∴S＝S△PEC＋S四边形OBPE＝n3－n2－n3－n2＋4n＋4＝－2n2＋4n＋4＝－2(n－1)2＋6.∴当n＝1时，S最大＝6；②当点P位于点C上方时，过P′作P′H⊥OB于H.同①可设P′(m，－2m2＋2m＋4)，则H(m，0)．∴P′H＝－2m2＋2m＋4，BH＝2－m.,1．探

11、究面积最值的存在性：第(2)问是与抛物线有关的三角形或四边形，抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛物线上，同样，抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上，要求三角形或四边形的面积的最大值或最小值．Ｋ解决这类问题的基本步骤：(1)首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t或动点的坐标(t，at2＋bt＋c)；(2)①求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高，此时就应先证明涉及底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t的代数式表示的底和高；②求四边形的面积最值时，常用到的

12、方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段；(3)用含有未知数的代数式表示出图形的面积；(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．2．探究面积等量关系的存在性问题：对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤：(1)弄清其取值范围