压轴题（二次函数与几何图形综合问题）复习课

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1、安顺中考数学压轴题复习课（二次函数与最大面积和等腰三角形存在性问题）彭文1．（2012秋•文昌校级期末）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线对应的二次函数关系式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，，故该二次函数的解

2、析式为：y=﹣x2+x﹣2．（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．（3）假设存在这样的点P．∵A（4，0），C（0，﹣2），∴AC=2．设P（x，0）．①当AC=PC时，=2，解得，x=4（不合题意，舍去）或x=﹣4，即P1（﹣4，0）；②当AP=AC时，

3、x﹣4

4、=2，解得，x=4+2

5、或x=4﹣2，即P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）；③当AP=PC时，

6、x﹣4

7、=，解得，x=，即P4（，0）．综上所述，符合条件的点P的坐标分别是：P1（﹣4，0）、P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）、P4（，0）．　2．（2013•廊坊一模）如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标为　（6，0）　；（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛

8、物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵y=ax2+x+c的图象经过A（﹣2，0），C（0，3），∴c=3，a=﹣，∴所求解析式为：y=﹣x2+x+3，答：这个二次函数的解析式是y=﹣x2+x+3．（2）解：（6，0），故答案为：（6，0）．（3）解：在Rt△AOC中，∵AO=2，OC=3，∴AC=，，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（﹣2﹣，0）；②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（﹣2，0）；③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，

9、0）；④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），在Rt△P4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32解得：x=，∴P4（，0）；答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（﹣2﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）或（，0）．（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=﹣x2+x+3上，即：Q点坐标为（x，﹣x2+x+3），连接OQ，S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ，=3+x+3（﹣x2+x+3）=﹣x2+x+12，∵a＜0，∴S四边形ABQC最大值=，Q点坐标为（3，），答：在第一象限中的抛物线上存在一

10、点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，），面积的最大值是．　3．（2013•攀枝花模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（

11、1，0），∴解得，∴二次函数的关系解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）存在．∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n=﹣m2﹣m+2．连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．则PM=﹣m2﹣m+2，PN=﹣m，AO=3．∵当x=0时，y=﹣×0﹣×0+2=2，∴OC=2，∴S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△ACO=AO•PM+CO•PN﹣AO•CO=×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2=﹣m2﹣3m∵a=﹣1＜0∴函数S△PAC=﹣m2﹣3m有最大值∴当m=﹣=﹣时，S△PAC有最大值．∴n=﹣m2﹣m+2=﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2=，∴

12、存在点P（