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时间:2018-07-12
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1、第七章微分方程§1基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.(1)故所给出的隐函数是微分方程的解(2).解:隐函数方程两边对x求导方程两边再对x求导指数函数非零,即有故所给出的隐函数是微分方程的解2.已知曲线族,求它相应的微分方程(其中均为常数)(一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数.)(1);(2).3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。(1)曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方。解:设曲线为y=y(x)则曲线上的点处的切线斜率为,由题意知所求方程为(2)曲线
2、在点P处的法线x轴的交点为Q,,PQ为y轴平分。解:曲线上的点处法线方程:。故法线x轴的交点为Q坐标应为,又PQ为y轴平分,故,便得曲线所满足的微分方程:(3)曲线上的点P处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2,且曲线过点(2,0)。解:点P处切线方程:故Q坐标为,则有则得初值问题为:§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解(1);解:分离变量(2);解:分离变量其中(3);解:分离变量得其中(4).解:分离变量得其中2.求下列微分方程的特解(1);(2)解:分离变量得,其中,由得,故特解为3.求下列微分方
3、程的通解(1);解:方程变形为齐次方程,,则,故原方程变为,分离变量得,两边积分,即,故,得,其中(2).解:方程变形为齐次方程,令则,故原方程变为,分离变量得,两边积分,即,即,得其中4.求下列微分方程的特解(1);解:原方程化为,令则,故原方程变为,分离变量得两边积分,即,得其中,由得,故特解为(2).解:原方程可化为令则,故原方程变为分离变量得两边积分,即得即得,即,又得特解为4.用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程(1);解:令则,原方程变为,分离变量并积分得故方程通解为(2)解:则,原方程变为,分离
4、变量并积分,即得,得,即,其中故方程通解为(,其中)(3)解:,则,原方程变为,分离变量并积分得故方程通解为(4)解:则,原方程变为,分离变量并积分,得,即其中(分析原方程可变形为,故令)(,,其中)4.求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于轴的直线和轴所围城三角形面积等于常数.BAP(x,y)解:曲线点P(x,y)的切线方程为:该曲线与x轴交点记为B,则B坐标为,过点P(x,y)平行于轴的直线和轴交点记为A,则A坐标为故三角形面积为即有微分方程当时用分离变量法解得当时用分离变量法解得4.设质量为的物体自由下
5、落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时速度为0,求物体速度与时间的函数关系.5.有一种医疗手段,是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉染色,现内科医生给某人注射了0.3g染色,30分钟后剩下0.1g,试求注射染色后分钟时正常胰脏中染色量随时间变化的规律,此人胰脏是否正常?解:t以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%染色可得通解为:加以初始p(0)=0.3,便可求出p(t)=0.3e及p(30)=0.3e然后与实测比较知,此人胰脏不正常.9.有一容器内有100L的盐水,其中含盐10
6、kg,现以每分钟3L的速度注入清水,同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐?解:设时刻容器内含盐,,由于时刻容器内液体为:100+,因此时刻容器内浓度为:.于是在时刻盐的流失速度为:,从而有满足的方程为:初始化条件为:§3一阶线性方程与贝努利方程1.求下列微分方程的通解(1);解:法一:常系数变易法:解齐次方程,分离变量得,积分得,即,其中(注:在常系数变易法时求解齐次方程通解时写成显式解;其中。设非齐次方程有解,代入非齐次方程有,即,故,非齐次微分方程的通解法二(公式法)(2);
7、故((3);解:方程变形为故即,其中(4);解:方程变形为,故即(分部积分法:)(5)解:两边同乘得,即,故令,则原方程变为故,即得即原方程通解为(用分部积分法积分)2.求下列微分方程的特解(1);解:(2)解:3.一曲线过原点,在处切线斜率为,求该曲线方程.解:由题意可得:于是:由得,故曲线方程为4.设可导函数满足方程,求.解:问题为初值问题该微分方程为线性微分方程故又得,故5.设有一个由电阻,电感,电流电压串联组成之电路,合上开关,求电路中电流和时间之关系.解:由及可得:问题为初值问题该微分方程为线性微分方程
8、故又得,故(分部积分法积)6.求下列贝努利方程的通解(1)解:原方程变形为,令,则,故原方程变为线性微分方程故贝努利方程的通解为(2)原方程变形为,令,则故原方程变为线性微分方程故贝努利方程的通解为(3)解:方程变形为,令,则故原方程变为线性微分方程故贝努利方程的通解为,即(4)解:方程变形为,,令,则故原方程变为线性微分方程故贝努利方程的通解为§4可降阶的高阶方程1.求
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