基于熵的离子导体电导率公式推导

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1、第31卷第3期2012年3月大学物理COLLEGEPHYSICSVol．31No．3Mar．2012基于熵的离子导体电导率公式推导王庆权，张永军(辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新123000)摘要:电导率是表示导体导电能力强弱的度量，离子导体的电导率可以通过平均漂移速度求得.文中通过对离子导体的分析，给出一种基于熵的新的推导方法．首先分析系统熵和环境熵的竞争关系，其次运用熵最大原理求出最概然电流，进而导出电导率公式．最后将基于熵的推导方法与漂移速度方法加以区别和对比，并推广到一般导体电导率公式的推导．关键词:离子导体;电导率;熵最大原理;非平

2、衡态中图分类号:O414．21文献标识码:A文章编号:1000-0712(2012)03-0005-04电导率即导电能力，允许电流通过某一种导体容易性的量度，与电阻互为倒数.金属导体电导率可以通过测量电阻间接得到，本文研究离子导体电导率．作为输运过程之一的电导过程，当外部作用力微弱时，可以用欧姆定律线性表示电导率σ、电场强度E和电流密度j三者之间的关系，即j=σE．对于离子导体电导率σ的计算，可以通过平均漂移速度求得，也可以用Green－Kubo中给出另一种推导方法求得，见文献［1］．本文分析系统熵和环境熵的竞争关系，竞争的结果是，电流为某一

3、特定值时总熵最大，这个特定值决定了电导率的形式．本文第1部分回顾离子导体的点缺陷和漂移速度法求电导率，第2部分首先分析在外电场作用下，含单个间隙离子导体的熵，其次分析含多个间隙离子的情况，最后给出最概然电流和电导率．第3部分将基于熵的推导方法和漂移速度法加以区别和对比．产生宏观电流，间隙离子在间隙位置上处于一个相对势能极小值.两个间隙之间存在势能的极大值，称之为势垒，用ε表示．间隙离子要跳跃到相邻的间隙，必须越过势垒ε，间隙离子的跳跃依靠着偶然性的统计涨落，且获得大于ε的能量才能实现．一般分析表明，获得能量大于ε的涨落概率为e－ε/kBT，间

4、隙离子每来往振动一次，都可以看作是越过势垒的一次尝试，但是，只有恰好由涨落获得的能量大于ε时，才能成功跳跃到相邻间隙.设离子振动频率为ν0，考虑到涨落概率，得到每秒钟成功跳跃次数，即－ε/kBT跳跃率为ν0e．当外电场存在时，外电场对它们所带电荷的作用，使得布朗运动产生一定的“偏向”，从而引起宏观电流．考虑一个正间隙离子在外电场作用下的运动，沿x方向的外电场E的作用可以用势能－Eqx来描述，将其叠加到原来离子势能ε上，间隙离子左右两边的势垒发生了变化，势垒高度分别为ε+(Eqa/2)和ε－(Eqa/2)，因此离子向左和向右相邻间隔位置的跳跃率

5、分别为(具体推导见文献［2］)1离子晶体的点缺陷和导电性理想晶体中的全部原子都是严格地处在规则的格点上，实际的晶体总存在着各种各样的缺陷，偏离理想晶格的情况.一般，晶体中都存在着微观缺陷，晶体中的各种缺陷对于晶体各种性质的形成有十分重要的作用.空位和间隙离子统称为点缺陷，是在研究离子晶体的电解导电性时提出来的，电解导电表明，电流是由晶体中的离子运动形成的，由于晶体是电中性的，格点失去一个离子形成空位，结果是该ν0exp[－]，ν0exp[－]ε+(Eqa/2)ε－(Eqa/2)kBTkTB(1)其中ε表示无外电场时势垒高度，ν0为离子振动频率

6、，kB为玻尔兹曼常量，a为晶格常数．这样使得原来无规则的跳跃沿电场方向发生了偏向．将离子向右和向左的跳跃率相减后乘以每步跳跃的距离a，2－ε/kBT简化得νa=qν0aeE/kBT，令n表示离子浓度，由漂移速度得电流密度j=nqνa=σE，根据欧姆定律得出电导率:上运动，则环境增加能量Eqa，熵增加Eqa/T，反之向下运动，则环境减少能量Eqa，熵减少Eqa/T．一次幺正演化完成后进入另一次演化，关于一个系统如何进行幺正演化参见文献［4，5］．考虑含有两个间隙离子的导体，在t=τ时，离子的运动有3种可能，两个同时向上，两个同时向下或者一个向上

7、一个22σ=naqνe－ε/kBT(2)0kBT2离子导体电导率公式推导向下，迁移所产生体积电流IV，系统微观状态数Ω，2．1符号说明前面通过漂移速度推出电导率公式，下面从熵如表1右半部分所示．2．3含N个间隙离子导体的熵这一概念出发，给出另一推导方法．首先分析在外电场作用下导体微观状态数变化，利用玻尔兹曼熵类似地，含有N个间隙离子的导体，在t=τ时，离子运动相对有些复杂．据前文假设，所有离子都发生迁移，向上或者向下，假设向上迁移的离子有kS(I)=kBlnΩ(I)求出系统熵，其次运用熵最大原理(见文献［3］)求出最概然电流，最后得出导体电导

8、率．在这里对将要使用的符号做一说明:q间隙离子所带电荷量，a晶格常数，τ离子迁移一次所用时间，E外电场强度，Iν体积电流，I截面电流，h导体长度，ε无外电场时势垒高