开方公式的推导

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1、开方公式的推导一、问题的提出在数学中，再也没有比开方更加自然的事了，当人类产生了自然数概念并且规定了四则运算之后，人们发现，如果按照乘法性质，一个数自身相乘的逆行运算是一件不太容易的事情。一个整数自身相乘以后是比较容易找到原来那个整数的，例如2自身相乘5次是32，从32我们也容易找到2，但是，如果是31，30，呢，开5次方就不太容易了。自从牛顿发现二项式定理以后，人们知道开方是依据二项式定理展开的。但是，毕竟太麻烦。有没有一个简单的方式或者公式来开方呢？二、一个意外设A=,,我们想求X，即开方n次，当：A=。（1）我们把右下角标打上了（@）的表示我们预设的那个X，把右下角没有@的X视作A以后得

2、出的商。有三种情况：一，我们取的初始值与等式右边的一致时，问题就解决了，例如32/=2；二，我们取的初始值偏小，A/>，例如45/=2.8125>2。（1）式A/=，于是<，-=E，例如;2.8125-2=0.8125,是一个正值，我们把这个正值分解E/n再加回去就可以调节原来取了偏小的初始值，使之变大；（因为A开n次方，就是将X自乘n次的数值分解n次，所以也就自然而然地想到其误差E也要分解n份,即E/n）。三，我们取的初始值偏大，A/<例如30/=1.875<2,（1）式A/=，于是，>，-=—E。例如1.875-2=—0.125，我们把这个负值-E分解-E/n再加回去，就可以调节原来取得偏

3、大的初始值，使之变小。四，于是我们得到：=+（A/-）.，(2)（K=0，1，2，3，4，…...。）五，我们用（2）式来开方。例如我们开平方，即n=2。,公式：=+（A/-）.，（3）设A=5。介于至之间，我们可以取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.。随便取一个值输入，得出来的都是正确的，一般要求取中间值2.5.第一步：2.5+（5/2.5-2.5）/2=2.2;(用其它值也一样，例如2.8；2.8+（5/2.8-2.8）/2=2.2。第二部：2.2+（5/2.2-2.2）/2=2.23。每一次多取一位数。第三步：2.23+（5/2.23-2.23

4、）/2=2.236.。即。计算次数与计算精确度成为正比。开3次方也一样，即n=3，,公式：=+（A/-）.。（4）设A=5，5介于至之间，我们可以取初始值1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都是一样。例如取1.9。第一步：1.9+（5/-1.9）/3=1.7。取其它值也是一样，例如取1.5；1.5+（5/-1.5）/3=1.7.。输入值大于输出值，负反馈；第二步：1.7+（5/-1.7）/3=1.71;输入值小于输出值，正反馈；第三步：1.71+（5/-1.71）/3=1.709;输入值大于输出值，负反馈；第四步;1.709+(5/-1.709)/3=1.7

5、099.每一步多取一位数。要多精确都可以。如果输入值与输出值一致：289开平方，介如10的平方至20平方之间，我们取20为初始值，于是：第一步20+（289/20-20）/2=17；第二步17+（289/17-17）/2=17.说明17是个精确值。以上方法是作者1980年发现的，找到江西师范大学数学系，一位教授看过之后，觉得面熟，将这个公式反推回去，原来是牛顿切线法。但是，他不知道是怎么得出来的。原来这可以用二项式定理推出。牛顿先生三，二项式定理与（2）式巧合设A==±＋±…±（5）X是假定值，Y是误差值。=）=+（A/-）.。（6）由（6）式得：±Y=（A/-）.。（7）我们把（5）式等号右

6、边按照（7）式程序进行：(一)（7）式右端第一步是A/,相当于（5）式中的：=X±Y±…±)/。（8）（二），（7）式右端第二步是减去X,即A/-。（8）式右端减去X得：±Y±…±)/。（9）（三），（7）式右端第三步是除以n，即：（A/-）。（9）式除以n得：±Y±…±)/n。（10）（10）式是由（5）式得来的，现在（7）式左端只剩下一个Y,而（10）式却是多出来一个：±…±)/n。（11）（11）式就是我们碰到的误差。我们在实际计算中把（11）式不要了。当我们取X值偏大，A=(X-Y)；当我们取值偏小是A=X+Y。四，为什么（2）式是牛顿切线法我们把（2）式展开：=+（A/-）.=-（-

7、A）/（n）.，注意：f（x）=-A；f”（x）=n。即=-（牛顿切线法，求X=，A>0,-A-A=0.牛顿本文的公式作者已经发到(百度网站的)百度词条：开平方，开立方，立方根，。但是没有公式的推导过程。作者希望把推导过程通过贵刊发表出来。本文完全符合控制论中的自动控制原理.