转轴公式的推导

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1、转轴公式的复数法及半径不变法推导张莉(机电学院01016108)指导教师：隋允康摘要:本文用复数法及半径不变的两种方法分别推导出平面转轴公式。关键词：复数方法；半径不变法；转轴公式1引言当一对坐标轴绕原点转动时，截面对于不同坐标轴的惯性矩或惯性积之间有一定的关系，即所谓的转轴公式。用它可以确定截面的主惯性轴及计算轴面的主惯性矩。图1所示任意截面图形，在z−y坐标系中的惯性矩I、I及惯性积I均为已知。zyyz将这一坐标系绕O点旋转α角（规定α角以逆时针转向为正，反之为负）至z、y位11置，则该截面对于z、y这对新坐标轴的惯性矩和惯性积分别为I、I和

2、I，它们11z1y1y1z1都可利用Iz，Iy和Iyz及α角来表达。2按复数法进行推导如图1，在截面上取任一微面积dA，设z轴为实数轴，y轴为虚数轴。则C=z+iy,C1=z1+iy1−iαiα由复数性质可知C=Ce，根据欧拉公式e=cosα+isinα可得：1C=C(cosα−isinα)=(z+iy)(cosα−isinα)=zcosα+ysinα+i(ycosα−zsinα)1代入C1=z1+iy1得z=zcosα+ysinα，y=ycosα−zsinα11该截面对于坐标轴z的惯性矩I为：1z18722I=∫ydA=∫(ycosα−zsin

3、α)dAz1A1A2222=cosα∫ydA+sinα∫zdA−2sinαcosα∫yzdA（1）AAA22=Icosα+Isinα−2Isinαcosαzyzyyyy1y1dAdAzzzy1z1zy1z111ρyyαβαzzoo图2图122以cosα=(1+cos2α)/2，sinα=(1−sin2α)/2代入(1)式，整理得I+II−IzyzyI=+cos2α−Isin2α（2）z122zyI+II−Izyzy同理：I=−cos2α+Isin2α（3）y122zyI−IzyI=sin2α+Icos2α（4）z1y12zy（2）（3）（4）即转

4、轴公式。3按半径不变法进行推导如图2所示，在截面上取任一微面积dA，设到原点O的距离为ρ，与坐标轴的夹角为β。则y=ρsin(β−α)1该截面对于坐标轴z的惯性矩I为1z1882222I=∫ydA=∫ρsin(β−α)=∫(ρsinβcosα−ρsinαcosβ)dAz1A1AA222()()()()=∫AcosαρsinβdA+∫AsinαρcosβdA−∫A2sinαcosαρsinβρcosβdA2222=cosα∫ydA+sinα∫zdA−sin2α∫yzdAAAAI+II−Izyzy=+cos2α−Isin2αzy22又z=ρcos(β

5、−α)，进而推得：1I+II−IzyzyI=−cos2α+Isin2αy1zy22I−IzyI=sin2α+Icos2αz1y1zy2同样得到转轴公式。4结论无论坐标轴旋转幅度多大，成正向或成反向旋转，此推导过程都将成立。当然还有更多更好的推导方法存在，这将有待于我们继续研究。科学问题的解决并不是唯一的，这就需要我们本着求实创新的精神，更加努力的去研究！致谢：在此感谢我的导师隋允康教授及本班材料力学课的助教，谢谢他们的指导与关心。（责任编辑：白海波张立新）参考文献1郑承沛.材料力学.北京：北京工业大学出版社，1999.1289